Начертите ось координат и постройте единичную полуокружность.

1. Начертите ось координат и постройте единичную полуокружность. :::div .chart-container @chart-1::: 2. Объясните, что такое синус и косинус угла $\alpha$ из промежутка $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$. Синус угла $\alpha$ — это ордината точки единичной окружности, которая соответствует углу $\alpha$, отсчитанному от положительной части оси Ox. Косинус угла $\alpha$ — это абсцисса точки единичной окружности, которая соответствует углу $\alpha$, отсчитанному от положительной части оси Ox. 3. Что называется тангенсом угла $\alpha$? Для какого значения $\alpha$ тангенс не определён и почему? Тангенсом угла $\alpha$ называется отношение синуса угла $\alpha$ к его косинусу, то есть $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\operatorname{sin} \alpha}{\operatorname{cos} \alpha}$. Тангенс не определён при $\alpha = 90^\circ$, потому что в этом случае косинус угла равен нулю, а деление на ноль невозможно. 4. Что называется котангенсом угла $\alpha$? Для каких значений $\alpha$ котангенс не определён и почему? Котангенсом угла $\alpha$ называется отношение косинуса угла $\alpha$ к его синусу, то есть $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\operatorname{cos} \alpha}{\operatorname{sin} \alpha}$. Котангенс не определён при $\alpha = 0^\circ$ и $\alpha = 180^\circ$, потому что в этих случаях синус угла равен нулю, а деление на ноль невозможно. 5. Докажите основное тригонометрическое тождество. Основное тригонометрическое тождество: $\operatorname{sin}^2 \alpha + \operatorname{cos}^2 \alpha = 1$. Доказательство: Рассмотрим единичную окружность с центром в начале координат. Пусть точка $P(x; y)$ лежит на этой окружности и соответствует углу $\alpha$, отсчитанному от положительной части оси Ox. Тогда по определению синуса и косинуса, $x = \operatorname{cos} \alpha$ и $y = \operatorname{sin} \alpha$. Для любой точки на единичной окружности выполняется уравнение окружности $x^2 + y^2 = 1^2$, то есть $x^2 + y^2 = 1$. Подставляя значения $x$ и $y$, получаем $(\operatorname{cos} \alpha)^2 + (\operatorname{sin} \alpha)^2 = 1$, или $\operatorname{cos}^2 \alpha + \operatorname{sin}^2 \alpha = 1$. 6. Напишите формулы приведения. * $\operatorname{sin}(90^\circ - \alpha) = \operatorname{cos} \alpha$ * $\operatorname{cos}(90^\circ - \alpha) = \operatorname{sin} \alpha$ * $\operatorname{sin}(90^\circ + \alpha) = \operatorname{cos} \alpha$ * $\operatorname{cos}(90^\circ + \alpha) = -\operatorname{sin} \alpha$ * $\operatorname{sin}(180^\circ - \alpha) = \operatorname{sin} \alpha$ * $\operatorname{cos}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{cos} \alpha$ 7. Выведите формулы, выражающие координаты точки A с неотрицательной ординатой через длину отрезка OA и угол между лучом OA и положительной полуосью Ox. Пусть длина отрезка OA равна $r$, а угол между лучом OA и положительной полуосью Ox равен $\alpha$. Пусть координаты точки A будут $(x; y)$. По определению синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике, образованном точкой A, проекцией точки A на ось Ox и началом координат, имеем: $$\operatorname{cos} \alpha = \frac{x}{r} \implies x = r \operatorname{cos} \alpha$$ $$\operatorname{sin} \alpha = \frac{y}{r} \implies y = r \operatorname{sin} \alpha$$ Таким образом, координаты точки A: $(r \operatorname{cos} \alpha; r \operatorname{sin} \alpha)$.