Вычислите выражения с дробями.

1. Чтобы вычислить это выражение, сначала нужно привести дроби к общему знаменателю, а потом выполнить вычитание и умножение: $$ \frac{7}{9} - \frac{2}{6} \cdot \frac{5}{15} = \frac{7}{9} - \frac{2 \cdot 5}{6 \cdot 15} = \frac{7}{9} - \frac{10}{90} $$ Сократим вторую дробь: $$ \frac{10}{90} = \frac{1}{9} $$ Теперь выполним вычитание: $$ \frac{7}{9} - \frac{1}{9} = \frac{7-1}{9} = \frac{6}{9} $$ Сократим результат: $$ \frac{6}{9} = \frac{2}{3} $$ **Ответ:** $\frac{2}{3}$ 2. Сначала выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю, а потом умножим: $$ \left(\frac{2}{3} - \frac{4}{9}\right) \cdot \frac{3}{8} $$ Общий знаменатель для 3 и 9 — это 9: $$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{6}{9} $$ Теперь вычитаем: $$ \frac{6}{9} - \frac{4}{9} = \frac{6-4}{9} = \frac{2}{9} $$ Теперь умножаем результат на $\frac{3}{8}$: $$ \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 8} = \frac{6}{72} $$ Сократим результат: $$ \frac{6}{72} = \frac{1}{12} $$ **Ответ:** $\frac{1}{12}$ 3. Сначала выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю, а потом умножим: $$ \left(\frac{2}{7} + \frac{3}{8}\right) \cdot \frac{1}{32} $$ Общий знаменатель для 7 и 8 — это 56: $$ \frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 8}{7 \cdot 8} = \frac{16}{56} $$ $$ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{21}{56} $$ Теперь складываем: $$ \frac{16}{56} + \frac{21}{56} = \frac{16+21}{56} = \frac{37}{56} $$ Теперь умножаем результат на $\frac{1}{32}$: $$ \frac{37}{56} \cdot \frac{1}{32} = \frac{37 \cdot 1}{56 \cdot 32} = \frac{37}{1792} $$ **Ответ:** $\frac{37}{1792}$ 4. Сначала выполним сложение в скобках, а потом деление: $$ \frac{5}{9} : \left(\frac{7}{9} + \frac{11}{18}\right) $$ Общий знаменатель для 9 и 18 — это 18: $$ \frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{14}{18} $$ Теперь складываем: $$ \frac{14}{18} + \frac{11}{18} = \frac{14+11}{18} = \frac{25}{18} $$ Теперь выполняем деление. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную дробь: $$ \frac{5}{9} : \frac{25}{18} = \frac{5}{9} \cdot \frac{18}{25} = \frac{5 \cdot 18}{9 \cdot 25} $$ Сократим 5 и 25 на 5, а 9 и 18 на 9: $$ \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{2}{5} $$ **Ответ:** $\frac{2}{5}$ 5. Сначала выполним деление, а потом вычитание: $$ 1 - \frac{2}{7} : \frac{4}{21} $$ Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную дробь: $$ \frac{2}{7} : \frac{4}{21} = \frac{2}{7} \cdot \frac{21}{4} = \frac{2 \cdot 21}{7 \cdot 4} $$ Сократим 2 и 4 на 2, а 7 и 21 на 7: $$ \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2} $$ Теперь выполняем вычитание: $$ 1 - \frac{3}{2} = \frac{2}{2} - \frac{3}{2} = \frac{2-3}{2} = -\frac{1}{2} $$ **Ответ:** $-\frac{1}{2}$ 6. Сначала выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю, а потом умножим: $$ \frac{5}{12} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{3}{25}\right) $$ Общий знаменатель для 5 и 25 — это 25: $$ \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{5}{25} $$ Теперь складываем: $$ \frac{5}{25} + \frac{3}{25} = \frac{5+3}{25} = \frac{8}{25} $$ Теперь умножаем результат на $\frac{5}{12}$: $$ \frac{5}{12} \cdot \frac{8}{25} = \frac{5 \cdot 8}{12 \cdot 25} $$ Сократим 5 и 25 на 5, а 8 и 12 на 4: $$ \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{2}{15} $$ **Ответ:** $\frac{2}{15}$ 7. Сначала выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю, а потом умножим: $$ \frac{2}{39} \cdot \left(\frac{1}{7} + \frac{6}{49}\right) $$ Общий знаменатель для 7 и 49 — это 49: $$ \frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7}{7 \cdot 7} = \frac{7}{49} $$ Теперь складываем: $$ \frac{7}{49} + \frac{6}{49} = \frac{7+6}{49} = \frac{13}{49} $$ Теперь умножаем результат на $\frac{2}{39}$: $$ \frac{2}{39} \cdot \frac{13}{49} = \frac{2 \cdot 13}{39 \cdot 49} $$ Сократим 13 и 39 на 13: $$ \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 49} = \frac{2}{147} $$ **Ответ:** $\frac{2}{147}$ 8. Сначала выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю, а потом умножим: $$ \frac{9}{14} \cdot \left(\frac{7}{24} - \frac{5}{12}\right) $$ Общий знаменатель для 24 и 12 — это 24: $$ \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24} $$ Теперь вычитаем: $$ \frac{7}{24} - \frac{10}{24} = \frac{7-10}{24} = -\frac{3}{24} $$ Сократим результат: $$ -\frac{3}{24} = -\frac{1}{8} $$ Теперь умножаем результат на $\frac{9}{14}$: $$ \frac{9}{14} \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) = -\frac{9 \cdot 1}{14 \cdot 8} = -\frac{9}{112} $$ **Ответ:** $-\frac{9}{112}$ 9. Сначала выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю, а потом умножим: $$ \frac{3}{16} \cdot \left(\frac{4}{5} + \frac{8}{15}\right) $$ Общий знаменатель для 5 и 15 — это 15: $$ \frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15} $$ Теперь складываем: $$ \frac{12}{15} + \frac{8}{15} = \frac{12+8}{15} = \frac{20}{15} $$ Сократим результат: $$ \frac{20}{15} = \frac{4}{3} $$ Теперь умножаем результат на $\frac{3}{16}$: $$ \frac{3}{16} \cdot \frac{4}{3} = \frac{3 \cdot 4}{16 \cdot 3} $$ Сократим 3 и 3 на 3, а 4 и 16 на 4: $$ \frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 1} = \frac{1}{4} $$ **Ответ:** $\frac{1}{4}$ 10. Сначала выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю, а потом умножим: $$ \frac{8}{35} \cdot \left(\frac{5}{6} + \frac{11}{12}\right) $$ Общий знаменатель для 6 и 12 — это 12: $$ \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12} $$ Теперь складываем: $$ \frac{10}{12} + \frac{11}{12} = \frac{10+11}{12} = \frac{21}{12} $$ Сократим результат: $$ \frac{21}{12} = \frac{7}{4} $$ Теперь умножаем результат на $\frac{8}{35}$: $$ \frac{8}{35} \cdot \frac{7}{4} = \frac{8 \cdot 7}{35 \cdot 4} $$ Сократим 8 и 4 на 4, а 7 и 35 на 7: $$ \frac{2 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{2}{5} $$ **Ответ:** $\frac{2}{5}$