Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) 7,4 см и 6,4 см; б) найти катет, если S = 34,2 см^2 и другой катет равен 7,2 см.

1. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, нужно перемножить длины его катетов и разделить на 2. Формула такая: $S = \frac{1}{2}ab$, где $a$ и $b$ — катеты. $$S = \frac{1}{2} \cdot 7,4 \text{ см} \cdot 6,4 \text{ см} = \frac{1}{2} \cdot 47,36 \text{ см}^2 = 23,68 \text{ см}^2$$ **Ответ: 23,68 см$^2$** б) Чтобы найти неизвестный катет, если известна площадь и один катет, нужно использовать ту же формулу. Из формулы $S = \frac{1}{2}ab$ выразим катет $b$: $b = \frac{2S}{a}$. $$b = \frac{2 \cdot 34,2 \text{ см}^2}{7,2 \text{ см}} = \frac{68,4 \text{ см}^2}{7,2 \text{ см}} = 9,5 \text{ см}$$ **Ответ: 9,5 см** 2. Найти площадь равнобедренной трапеции ABCD, если высота BH = 11 см, основание BC = 12 см, а отрезок AH = 4 см. Площадь трапеции находится по формуле: $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота. У нас есть высота $BH = 11$ см и верхнее основание $BC = 12$ см. Нужно найти нижнее основание $AD$. Так как трапеция равнобедренная, а $BH$ — это высота, то $AH = KD = 4$ см. Тогда нижнее основание $AD = AH + HK + KD$. А $HK$ равен $BC$. $$AD = AH + BC + KD = 4 \text{ см} + 12 \text{ см} + 4 \text{ см} = 20 \text{ см}$$ Теперь можно найти площадь: $$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{12 \text{ см} + 20 \text{ см}}{2} \cdot 11 \text{ см} = \frac{32 \text{ см}}{2} \cdot 11 \text{ см} = 16 \text{ см} \cdot 11 \text{ см} = 176 \text{ см}^2$$ **Ответ: 176 см$^2$** 3. В параллелограмме диагональ BD = 22,6 см и она равна стороне AB, а $\angle A = 30^0$. Найдите площадь параллелограмма, если сторона AD = 28,3 см. У нас есть параллелограмм ABCD. Известно, что $BD = AB = 22,6$ см, $AD = 28,3$ см и $\angle A = 30^0$. Площадь параллелограмма можно найти по формуле $S = ab\sin C$, где $a$ и $b$ — стороны, а $C$ — угол между ними. Сначала найдем сторону $AB$ из треугольника $ABD$ по теореме косинусов. Пусть $AB = x$. $$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$$ Но у нас известно, что $BD = AB$, так что пусть $AB = BD = x$. $$x^2 = x^2 + AD^2 - 2 \cdot x \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$$ $$0 = AD^2 - 2 \cdot x \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$$ $$AD^2 = 2 \cdot x \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$$ Так как $AD \neq 0$, можно разделить на $AD$: $$AD = 2 \cdot x \cdot \cos(\angle A)$$ Отсюда выразим $x$: $x = \frac{AD}{2 \cdot \cos(\angle A)}$. $$x = \frac{28,3}{2 \cdot \cos(30^0)} = \frac{28,3}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{28,3}{\sqrt{3}} \approx \frac{28,3}{1,732} \approx 16,34 \text{ см}$$ Теперь мы знаем две стороны параллелограмма: $AD = 28,3$ см и $AB \approx 16,34$ см, и угол между ними $\angle A = 30^0$. $$S = AD \cdot AB \cdot \sin(\angle A)$$ $$S = 28,3 \text{ см} \cdot 16,34 \text{ см} \cdot \sin(30^0)$$ $$S = 28,3 \text{ см} \cdot 16,34 \text{ см} \cdot 0,5$$ $$S = 462,122 \text{ см}^2 \cdot 0,5 = 231,061 \text{ см}^2$$ Округлим до сотых: **Ответ: 231,06 см$^2$**