Реши системы уравнений, представленные на доске.

1) $$ \begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 4x - y = 7 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y$: $$ y = 4x - 7 $$ Подставим это выражение в первое уравнение: $$ 3x + 2(4x - 7) = 8 $$ $$ 3x + 8x - 14 = 8 $$ $$ 11x = 8 + 14 $$ $$ 11x = 22 $$ $$ x = 2 $$ Теперь найдем $y$: $$ y = 4(2) - 7 $$ $$ y = 8 - 7 $$ $$ y = 1 $$ **Ответ: $x=2, y=1$** 2) $$ \begin{cases} 4x + 3y = -1 \\ 2x^2 - y = 11 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y$: $$ y = 2x^2 - 11 $$ Подставим это выражение в первое уравнение: $$ 4x + 3(2x^2 - 11) = -1 $$ $$ 4x + 6x^2 - 33 = -1 $$ $$ 6x^2 + 4x - 33 + 1 = 0 $$ $$ 6x^2 + 4x - 32 = 0 $$ Разделим все на 2: $$ 3x^2 + 2x - 16 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(3)(-16) = 4 + 192 = 196 $$ $$ \sqrt{D} = \sqrt{196} = 14 $$ Найдем $x_1$ и $x_2$: $$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 14}{2(3)} = \frac{12}{6} = 2 $$ $$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 14}{2(3)} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3} $$ Теперь найдем соответствующие значения $y$: Для $x_1 = 2$: $$ y_1 = 2(2)^2 - 11 = 2(4) - 11 = 8 - 11 = -3 $$ Для $x_2 = -\frac{8}{3}$: $$ y_2 = 2\left(-\frac{8}{3}\right)^2 - 11 = 2\left(\frac{64}{9}\right) - 11 = \frac{128}{9} - \frac{99}{9} = \frac{29}{9} $$ **Ответ: $(2; -3)$, $(-\frac{8}{3}; \frac{29}{9})$** 3) $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 40 \\ xy = -12 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y$: $$ y = -\frac{12}{x} $$ Подставим это выражение в первое уравнение: $$ x^2 + \left(-\frac{12}{x}\right)^2 = 40 $$ $$ x^2 + \frac{144}{x^2} = 40 $$ Умножим все на $x^2$ (при условии, что $x \neq 0$): $$ x^4 + 144 = 40x^2 $$ $$ x^4 - 40x^2 + 144 = 0 $$ Сделаем замену $t = x^2$ (при этом $t \ge 0$): $$ t^2 - 40t + 144 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4(1)(144) = 1600 - 576 = 1024 $$ $$ \sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32 $$ Найдем $t_1$ и $t_2$: $$ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 + 32}{2} = \frac{72}{2} = 36 $$ $$ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 - 32}{2} = \frac{8}{2} = 4 $$ Вернемся к $x^2 = t$: Для $t_1 = 36$: $$ x^2 = 36 \implies x = \pm 6 $$ Для $t_2 = 4$: $$ x^2 = 4 \implies x = \pm 2 $$ Теперь найдем соответствующие значения $y$: Если $x = 6$: $$ y = -\frac{12}{6} = -2 $$ Если $x = -6$: $$ y = -\frac{12}{-6} = 2 $$ Если $x = 2$: $$ y = -\frac{12}{2} = -6 $$ Если $x = -2$: $$ y = -\frac{12}{-2} = 6 $$ **Ответ: $(6; -2)$, $(-6; 2)$, $(2; -6)$, $(-2; 6)$**