Найди длину диагонали, углы наклона диагонали, площадь диагонального сечения, двугранный угол между плоскостями, площадь полной поверхности и объем прямоугольного параллелепипеда с заданными измерениями.

Даны измерения прямоугольного параллелепипеда: $AD = 4$ дм, $DC = 2$ дм, $CC_1 = 4$ дм. Обозначим измерения: длина $a = 4$ дм, ширина $b = 2$ дм, высота $c = 4$ дм. а) Найди длину диагонали параллелепипеда. Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда $d$ находится по формуле: $$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$ Подставляем значения: $$d = \sqrt{4^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6 \text{ дм}$$ **Ответ: 6 дм** б) Найди угол наклона диагонали параллелепипеда к плоскости основания параллелепипеда; к плоскостям боковых граней параллелепипеда. Угол наклона диагонали к плоскости основания: Пусть диагональ параллелепипеда будет $D_1$. Диагональ основания $d_{осн} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ дм. Тангенс угла $\alpha$ между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания: $$ g \alpha = \frac{c}{d_{осн}} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$ $$\alpha = \arctg\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$$ Угол наклона диагонали к плоскости боковой грани, например, грани с рёбрами $a$ и $c$ (ADDA1): Диагональ грани $d_{ADDA_1} = \sqrt{a^2 + c^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ дм. Тангенс угла $\beta$ между диагональю параллелепипеда и плоскостью этой грани: $$ g \beta = \frac{b}{d_{ADDA_1}} = \frac{2}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$ $$\beta = \arctg\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$$ Угол наклона диагонали к плоскости боковой грани, например, грани с рёбрами $b$ и $c$ (DCC1D1): Диагональ грани $d_{DCC_1D_1} = \sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ дм. Тангенс угла $\gamma$ между диагональю параллелепипеда и плоскостью этой грани: $$ g \gamma = \frac{a}{d_{DCC_1D_1}} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$ $$\gamma = \arctg\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$$ **Ответ: к плоскости основания $\arctg\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$, к грани $ADDA_1$ $\arctg\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$, к грани $DCC_1D_1$ $\arctg\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$** в) Найди площадь диагонального сечения. Диагональное сечение проходит через диагональ основания и боковое ребро (высоту). Например, сечение $ADD_1C_1$ или $BCC_1B_1$. Для сечения $ACC_1A_1$ одна сторона — это диагональ основания $AC$, а другая — высота $CC_1$. Длина диагонали основания $AC = d_{осн} = 2\sqrt{5}$ дм. Высота $CC_1 = 4$ дм. Площадь диагонального сечения $S_{сеч} = d_{осн} \cdot c = 2\sqrt{5} \cdot 4 = 8\sqrt{5}$ дм$^2$. **Ответ: $8\sqrt{5}$ дм$^2$** г) Найди двугранный угол между плоскостями $ADC_1$ и $BAD$. Плоскость $BAD$ - это плоскость основания параллелепипеда, то есть $ABCD$. Плоскость $ADC_1$ проходит через ребро $AD$. Ребро $AD$ является общей прямой для этих двух плоскостей. Двугранный угол между плоскостями равен углу между прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно к общему ребру в одной точке. Из точки $D$ в плоскости $ABCD$ перпендикуляр к $AD$ — это ребро $DC$. В плоскости $ADD_1C_1$ (грань) $AD$ перпендикулярна $DD_1$. Угол между плоскостью $ADC_1$ и $BAD$ — это угол между прямыми $DC$ и $DD_1$. Они перпендикулярны $AD$. $DC = 2$ дм, $DD_1 = 4$ дм. Поскольку плоскость $ABCD$ перпендикулярна плоскости $ADD_1A_1$, а $DC$ лежит в плоскости $ABCD$ и перпендикулярна $AD$, $DD_1$ лежит в плоскости $ADD_1A_1$ и перпендикулярна $AD$, то угол между плоскостями $ADC_1$ и $BAD$ — это угол $C_1DA$ (или угол между $C_1D$ и $CD$). Рассмотрим прямоугольный треугольник $DCC_1$. Угол между плоскостью $ADC_1$ и $BAD$ (т.е. $ABCD$) — это угол между $C_1D$ и $CD$. Это угол $C_1DC$. $ g (\angle C_1DC) = \frac{CC_1}{DC} = \frac{4}{2} = 2$. $\angle C_1DC = \arctg(2)$. **Ответ: $\arctg(2)$** д) Найди площадь полной поверхности параллелепипеда. Площадь полной поверхности $S_{полн}$ прямоугольного параллелепипеда: $$S_{полн} = 2(ab + bc + ac)$$ Подставляем значения: $$S_{полн} = 2(4 \cdot 2 + 2 \cdot 4 + 4 \cdot 4) = 2(8 + 8 + 16) = 2(32) = 64 \text{ дм}^2$$ **Ответ: $64$ дм$^2$** е) Найди объем параллелепипеда. Объем $V$ прямоугольного параллелепипеда: $$V = abc$$ Подставляем значения: $$V = 4 \cdot 2 \cdot 4 = 32 \text{ дм}^3$$ **Ответ: $32$ дм$^3$**