1. Сократи дробь.2. Найди среднюю скорость автомобиля, если первую половину пути он проехал со скоростью 34 км/ч, а вторую – со скоростью 51 км/ч.3. Построй график функции $y = x^2 - 8x + 1$ и определи, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.4. Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найди расстояние от центра окружности до хорды $CD$, если $AB=14$, $CD=48$, а расстояние от центра окружности до хорды $AB$ равно 24.5. Биссектрисы углов $C$ и $D$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Докажи, что точка $P$ равноудалена от прямых $BC$, $CD$ и $AD$.6. В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 12$, $AC = 72$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Найди $CD$.

1. Сократи дробь. $$\frac{3^{6}}{3^{2n-1} \cdot 4^{2n-1}} = \frac{3^{6}}{ (3 \cdot 4)^{2n-1} } = \frac{3^{6}}{12^{2n-1}}$$ 2. Найди среднюю скорость автомобиля, если первую половину пути он проехал со скоростью 34 км/ч, а вторую – со скоростью 51 км/ч. Пусть весь путь равен $2S$. Тогда первую половину пути $S$ автомобиль проехал со скоростью $v_1 = 34$ км/ч, а вторую половину пути $S$ — со скоростью $v_2 = 51$ км/ч. Время, затраченное на первую половину пути: $$t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{34}$$ Время, затраченное на вторую половину пути: $$t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{51}$$ Общее время в пути: $$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{34} + \frac{S}{51} = S \left( \frac{1}{34} + \frac{1}{51} \right)$$ Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{1}{34}$ и $\frac{1}{51}$. Разложим числа на множители: $34 = 2 \cdot 17$, $51 = 3 \cdot 17$. Общий знаменатель $2 \cdot 3 \cdot 17 = 102$. $$t_{общ} = S \left( \frac{3}{102} + \frac{2}{102} \right) = S \left( \frac{3+2}{102} \right) = S \cdot \frac{5}{102}$$ Средняя скорость равна всему пути, деленному на общее время: $$v_{ср} = \frac{2S}{t_{общ}} = \frac{2S}{S \cdot \frac{5}{102}} = \frac{2}{\frac{5}{102}} = 2 \cdot \frac{102}{5} = \frac{204}{5} = 40,8$$ **Ответ: 40,8 км/ч** 3. Построй график функции $y = x^2 - 8x + 1$ и определи, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки. Сначала найдём вершину параболы $y = x^2 - 8x + 1$. Координата $x$ вершины: $$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$$ Координата $y$ вершины: $$y_в = (4)^2 - 8(4) + 1 = 16 - 32 + 1 = -15$$ Вершина параболы находится в точке $(4, -15)$. Теперь найдём точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции), приравняв $y$ к нулю: $x^2 - 8x + 1 = 0$. Дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 64 - 4 = 60$$ Корни уравнения: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{15}}{2} = 4 \pm \sqrt{15}$$ Приблизительные значения корней: $\sqrt{15} \approx 3,87$. $x_1 \approx 4 - 3,87 = 0,13$ $x_2 \approx 4 + 3,87 = 7,87$ Точка пересечения с осью $Oy$: при $x=0$, $y = 0^2 - 8 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$. Для того чтобы прямая $y=m$ имела с графиком ровно три общие точки, нужно, чтобы график функции имел «излом» (например, если бы это был график функции с модулем или кубической параболы с локальными экстремумами). Однако, функция $y = x^2 - 8x + 1$ — это обычная парабола, которая либо не имеет точек пересечения с горизонтальной прямой, либо имеет одну (в вершине), либо две. **Допущение: Возможно, в задании была опечатка, и функция имела вид, например, $y = |x^2 - 8x + 1|$ или $y = x^3 + ax^2 + bx + c$. Если функция именно $y = x^2 - 8x + 1$, то прямая $y=m$ не может иметь ровно три общие точки с параболой.** В случае, если график функции $y=x^2-8x+1$ нужно понимать как часть более сложного графика, например, $y = f(x)$ на разных промежутках, то необходима дополнительная информация. Для стандартной параболы такого быть не может. :::div .chart-container @chart-1::: **Ответ:** Для функции $y = x^2 - 8x + 1$ прямая $y=m$ не может иметь ровно три общие точки. 4. Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $CD$, если $AB=14$, $CD=48$, а расстояние от центра окружности до хорды $AB$ равно 24. Пусть $O$ — центр окружности. Пусть $r$ — радиус окружности. Расстояние от центра окружности до хорды перпендикулярно хорде и делит её пополам. Пусть $h_{AB}$ — расстояние от $O$ до $AB$, и $h_{CD}$ — расстояние от $O$ до $CD$. Из условия известно: $AB = 14 \Rightarrow \frac{AB}{2} = 7$ $CD = 48 \Rightarrow \frac{CD}{2} = 24$ $h_{AB} = 24$ Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной хорды $AB$ и расстоянием $h_{AB}$. По теореме Пифагора: $$r^2 = \left(\frac{AB}{2}\right)^2 + h_{AB}^2$$ $$r^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$$ Значит, $r = \sqrt{625} = 25$. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной хорды $CD$ и расстоянием $h_{CD}$. По теореме Пифагора: $$r^2 = \left(\frac{CD}{2}\right)^2 + h_{CD}^2$$ Подставим известные значения: $$25^2 = 24^2 + h_{CD}^2$$ $$625 = 576 + h_{CD}^2$$ $$h_{CD}^2 = 625 - 576 = 49$$ $$h_{CD} = \sqrt{49} = 7$$ **Ответ: 7** 5. Биссектрисы углов $C$ и $D$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что точка $P$ равноудалена от прямых $BC$, $CD$ и $AD$. Доказательство: 1. **Точка $P$ лежит на биссектрисе угла $C$.** По свойству биссектрисы угла, любая точка, лежащая на биссектрисе, равноудалена от сторон этого угла. В данном случае, поскольку $P$ лежит на биссектрисе угла $C$, она равноудалена от сторон $BC$ и $CD$. Это значит, что расстояние от $P$ до $BC$ равно расстоянию от $P$ до $CD$. 2. **Точка $P$ лежит на биссектрисе угла $D$.** Аналогично, поскольку $P$ лежит на биссектрисе угла $D$, она равноудалена от сторон этого угла. В данном случае, это стороны $CD$ и $AD$. Это значит, что расстояние от $P$ до $CD$ равно расстоянию от $P$ до $AD$. 3. **Объединение результатов.** Из пункта 1 мы знаем, что расстояние $P$ до $BC$ = расстояние $P$ до $CD$. Из пункта 2 мы знаем, что расстояние $P$ до $CD$ = расстояние $P$ до $AD$. Следовательно, расстояние от $P$ до $BC$ = расстояние от $P$ до $CD$ = расстояние от $P$ до $AD$. Таким образом, точка $P$ равноудалена от прямых $BC$, $CD$ и $AD$. Что и требовалось доказать. 6. В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 12$, $AC = 72$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Найдите $CD$. **Недостаточно данных для решения** Для решения задачи необходимо знать больше информации о треугольнике $ABC$ (например, длину стороны $BC$ или какой-либо угол), так как радиус описанной окружности и положение точки $O$ зависят от всех сторон и углов треугольника. Также для определения положения точки $D$ нужна информация о прямой $AO$ и её пересечении с $BD$. В текущем виде задача имеет много неизвестных, чтобы найти $CD$ однозначно. **Допущение:** Если бы треугольник был прямоугольным или равнобедренным, или если бы точка $O$ была центром вписанной окружности или пересечением медиан, решение было бы проще. С текущими данными невозможно найти $CD$.