Реши неравенство: $\frac{x-5}{x+2} < 0$

Нам нужно решить неравенство: $$\frac{x-5}{x+2} < 0$$ Чтобы дробь была отрицательной, числитель и знаменатель должны иметь разные знаки. Рассмотрим два случая: **Случай 1:** Числитель положительный, а знаменатель отрицательный. $$x - 5 > 0 \implies x > 5$$ $$x + 2 < 0 \implies x < -2$$ Нет таких $x$, которые одновременно больше 5 и меньше -2. **Случай 2:** Числитель отрицательный, а знаменатель положительный. $$x - 5 < 0 \implies x < 5$$ $$x + 2 > 0 \implies x > -2$$ Это выполняется при $x$ от -2 до 5, не включая эти значения. Или можно использовать метод интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя: $x - 5 = 0 \implies x = 5$ $x + 2 = 0 \implies x = -2$ Нанесем эти точки на числовую прямую. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 5)$, $(5; +\infty)$. Выберем тестовую точку в каждом интервале: 1. Для интервала $(-\infty; -2)$, возьмем $x = -3$: $$\frac{-3-5}{-3+2} = \frac{-8}{-1} = 8 > 0$$ (дробь положительная) 2. Для интервала $(-2; 5)$, возьмем $x = 0$: $$\frac{0-5}{0+2} = \frac{-5}{2} = -2.5 < 0$$ (дробь отрицательная) 3. Для интервала $(5; +\infty)$, возьмем $x = 6$: $$\frac{6-5}{6+2} = \frac{1}{8} > 0$$ (дробь положительная) Нам нужно, чтобы дробь была меньше 0, то есть отрицательной. Это происходит в интервале $(-2; 5)$. **Ответ:** $x \in (-2; 5)$