1. Легковой автомобиль и автокран движутся по мосту, причём масса автокрана 4500 кг. Чему равна масса легкового автомобиля, если отношение потенциальной энергии автокрана и легкового автомобиля относительно уровня воды равно 3? 2. На рисунке представлена траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту. В какой из четырёх точек, отмеченных на траектории, потенциальная энергия имеет минимальное значение? 3. Математический маятник колеблется между точками А и С с периодом Т. В начальный момент времени маятник находится в точке А (см. рис.). Через какой промежуток времени его потенциальная энергия в первый раз достигнет минимального значения? Сопротивление воздуха не учитывайте. 4. При удлинении на 2 см стальная пружина имеет потенциальную энергию упругой деформации 4 Дж. Как изменится потенциальная энергия этой пружины при уменьшении удлинения на 1 см? 5. При растяжении пружины на 0,1 м в ней возникает сила упругости, равная 2,5 Н. Определите потенциальную энергию этой пружины при растяжении на 0,08 м.

1. Чтобы найти массу легкового автомобиля, используем формулу потенциальной энергии: $E_p = mgh$. Потенциальная энергия автокрана $E_{p_{автокрана}} = m_{автокрана}gh$. Потенциальная энергия легкового автомобиля $E_{p_{автомобиля}} = m_{автомобиля}gh$. Нам дано, что отношение потенциальной энергии автокрана к потенциальной энергии легкового автомобиля равно 3. Так как они находятся на одной и той же высоте (на мосту), и ускорение свободного падения одинаково, то $gh$ сокращается: $$\frac{E_{p_{автокрана}}}{E_{p_{автомобиля}}} = \frac{m_{автокрана}gh}{m_{автомобиля}gh} = \frac{m_{автокрана}}{m_{автомобиля}} = 3$$ Дано, что масса автокрана $m_{автокрана} = 4500 \text{ кг}$. Тогда $$m_{автомобиля} = \frac{m_{автокрана}}{3} = \frac{4500 \text{ кг}}{3} = 1500 \text{ кг}$$ **Ответ: 3) 1500 кг** 2. Потенциальная энергия тела определяется формулой $E_p = mgh$, где $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота тела над выбранным нулевым уровнем. Чем меньше высота $h$, тем меньше потенциальная энергия. На рисунке показана траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту. Точка 2 находится в самой верхней части траектории, где высота максимальна, значит, потенциальная энергия максимальна. Точка 4 находится на том же уровне, что и точка 1. Точка 3 находится ниже точек 1 и 4, но выше нулевого уровня. Чтобы определить, где потенциальная энергия минимальна, нужно найти точку с минимальной высотой. Нулевой уровень высоты обозначен пунктирной линией, и тела не опускаются ниже этого уровня. Самая низкая точка, из отмеченных на траектории, это точка 3. **Ответ: 3) 3** 3. Математический маятник колеблется между точками A и C с периодом T. Точка B — это положение равновесия маятника (самая нижняя точка траектории). Потенциальная энергия маятника минимальна в точке равновесия (B), потому что в этой точке высота маятника минимальна. От точки A до точки B маятник движется за $T/4$ времени. От точки A до точки C (и обратно до A) маятник совершает полное колебание за время T. Если маятник начинает движение из точки А, то в первый раз его потенциальная энергия достигнет минимального значения, когда маятник дойдет до точки В. Это займет четверть периода. **Ответ: 3) $\frac{1}{4}T$** 4. Потенциальная энергия упругой деформации пружины вычисляется по формуле $E_p = \frac{kx^2}{2}$, где $k$ — коэффициент жёсткости пружины, а $x$ — её удлинение. Дано, что при удлинении на 2 см ($x_1 = 2 \text{ см} = 0,02 \text{ м}$) потенциальная энергия $E_{p1} = 4 \text{ Дж}$. $$E_{p1} = \frac{k(0,02)^2}{2} = 4 \text{ Дж}$$ Отсюда можно найти коэффициент жёсткости $k$: $$k = \frac{2E_{p1}}{x_1^2} = \frac{2 \times 4}{(0,02)^2} = \frac{8}{0,0004} = 20000 \text{ Н/м}$$ Теперь найдём, как изменится потенциальная энергия при уменьшении удлинения на 1 см. Изначальное удлинение было 2 см. Если уменьшить на 1 см, новое удлинение составит $x_2 = 2 \text{ см} - 1 \text{ см} = 1 \text{ см} = 0,01 \text{ м}$. Новая потенциальная энергия $E_{p2}$: $$E_{p2} = \frac{k x_2^2}{2} = \frac{20000 \times (0,01)^2}{2} = \frac{20000 \times 0,0001}{2} = \frac{2}{2} = 1 \text{ Дж}$$ Изменение потенциальной энергии: $\Delta E_p = E_{p1} - E_{p2} = 4 \text{ Дж} - 1 \text{ Дж} = 3 \text{ Дж}$. Потенциальная энергия уменьшится на 3 Дж. **Ответ: 3) уменьшится на 3 Дж** 5. Потенциальная энергия упругой деформации пружины определяется по формуле $E_p = \frac{Fx}{2}$, где $F$ — сила упругости, $x$ — удлинение пружины. Дано: сила упругости $F = 2,5 \text{ Н}$, растяжение пружины $x = 0,08 \text{ м}$. $$E_p = \frac{2,5 \text{ Н} \times 0,08 \text{ м}}{2} = \frac{0,2 \text{ Дж}}{2} = 0,1 \text{ Дж}$$ Среди вариантов ответа нет 0,1 Дж. Однако, если посмотреть на предложенные варианты, то 0,08 Дж ближе к 0,1 Дж. Давай перепроверим расчеты. $$2,5 \times 0,08 = \frac{25}{10} \times \frac{8}{100} = \frac{200}{1000} = 0,2$$ $$E_p = \frac{0,2}{2} = 0,1 \text{ Дж}$$ Вероятно, в вариантах ответа есть ошибка, или я неправильно понял условия. Если бы ответ был 0,08 Дж, то F*x должно было быть 0,16 Дж. Может, сила возникает при растяжении на 0,1 м, а нам нужно определить энергию при растяжении на 0,08 м? "При растяжении пружины на 0,1 м в ней возникает сила упругости, равная 2,5 Н. Определите потенциальную энергию этой пружины при растяжении на 0,08 м." Это значит, что мы можем найти коэффициент жёсткости пружины $k$: $$F = kx$$ $$k = \frac{F}{x_{первоначальное}} = \frac{2,5 \text{ Н}}{0,1 \text{ м}} = 25 \text{ Н/м}$$ Теперь, зная коэффициент жёсткости, мы можем найти потенциальную энергию при растяжении на $x_{новое} = 0,08 \text{ м}$: $$E_p = \frac{k x_{новое}^2}{2} = \frac{25 \text{ Н/м} \times (0,08 \text{ м})^2}{2} = \frac{25 \times 0,0064}{2} = \frac{0,16}{2} = 0,08 \text{ Дж}$$ **Ответ: 3) 0,08 Дж**