1. Найдите значение выражения:
а) $22,2 : 5\frac{2}{7} - 2\frac{3}{5}$
Переведем десятичную дробь и смешанные числа в обыкновенные дроби:
$22,2 = \frac{222}{10} = \frac{111}{5}$
$5\frac{2}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{37}{7}$
$2\frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{13}{5}$
Выполним деление:
$\frac{111}{5} : \frac{37}{7} = \frac{111}{5} \cdot \frac{7}{37} = \frac{3 \cdot 37}{5} \cdot \frac{7}{37} = \frac{3 \cdot 7}{5} = \frac{21}{5}$
Выполним вычитание:
$\frac{21}{5} - \frac{13}{5} = \frac{21 - 13}{5} = \frac{8}{5} = 1,6$
**Ответ: 1,6**
б) $(7\frac{1}{4} - 6\frac{7}{18}) \cdot 7,2 + 2,8$
Выполним вычитание в скобках:
$7\frac{1}{4} - 6\frac{7}{18} = (7 - 6) + (\frac{1}{4} - \frac{7}{18})$
Приведем дроби к общему знаменателю (36):
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{9}{36}$
$\frac{7}{18} = \frac{7 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{14}{36}$
$1 + (\frac{9}{36} - \frac{14}{36}) = 1 - \frac{5}{36} = \frac{36}{36} - \frac{5}{36} = \frac{31}{36}$
Теперь умножим на 7,2:
$\frac{31}{36} \cdot 7,2 = \frac{31}{36} \cdot \frac{72}{10} = \frac{31}{1} \cdot \frac{2}{10} = \frac{62}{10} = 6,2$
Теперь прибавим 2,8:
$6,2 + 2,8 = 9$
**Ответ: 9**
2. На пошив сорочки ушло 2,6 м купленной ткани, а на пошив пододеяльника 9,1 м ткани. Во сколько раз больше ткани пошло на пододеяльник, чем на сорочку? Какая часть всей ткани пошла на сорочку?
Сначала найдем, во сколько раз больше ткани ушло на пододеяльник, чем на сорочку:
$9,1 : 2,6 = 3,5$ раза
Теперь найдем общую длину ткани:
$2,6 + 9,1 = 11,7$ м
Определим, какая часть всей ткани пошла на сорочку:
$\frac{2,6}{11,7} = \frac{26}{117}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 13:
$\frac{26 : 13}{117 : 13} = \frac{2}{9}$
**Ответ: на пододеяльник ушло в 3,5 раза больше ткани; \frac{2}{9} всей ткани пошло на сорочку.**
3. С введением нового фасона расход ткани на платье увеличился с 3,2 м до 3,6 м. На сколько процентов увеличился расход ткани на платье?
Найдем, на сколько метров увеличился расход ткани:
$3,6 - 3,2 = 0,4$ м
Чтобы найти процент увеличения, разделим увеличение на начальный расход и умножим на 100%:
$\frac{0,4}{3,2} \cdot 100\% = \frac{4}{32} \cdot 100\% = \frac{1}{8} \cdot 100\% = 12,5\%$
**Ответ: расход ткани увеличился на 12,5%.**
4. Упростите выражение $\frac{5}{12}a + \frac{3}{4}a - \frac{1}{2}a$ и найдите его значение при $a = 2,1$.
Сначала упростим выражение, приведя дроби к общему знаменателю (12):
$\frac{5}{12}a + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}a - \frac{1 \cdot 6}{2 \cdot 6}a = \frac{5}{12}a + \frac{9}{12}a - \frac{6}{12}a$
Сложим и вычтем коэффициенты при $a$:
$(\frac{5+9-6}{12})a = \frac{8}{12}a = \frac{2}{3}a$
Теперь подставим значение $a = 2,1$:
$\frac{2}{3} \cdot 2,1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{21}{10} = \frac{2 \cdot 7}{10} = \frac{14}{10} = 1,4$
**Ответ: упрощенное выражение $\frac{2}{3}a$, его значение при $a = 2,1$ равно 1,4.**
5. Сколько имеется несократимых правильных дробей со знаменателем 123?
Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Несократимая дробь — это дробь, у которой числитель и знаменатель взаимно просты (их наибольший общий делитель равен 1).
Знаменатель равен 123. Разложим 123 на простые множители:
$123 = 3 \cdot 41$
Чтобы дробь $\frac{x}{123}$ была несократимой, числитель $x$ не должен иметь общих множителей со знаменателем 123. Это значит, что $x$ не должен делиться ни на 3, ни на 41.
Числитель $x$ должен быть натуральным числом, меньшим 123 (так как дробь правильная), то есть $1 \le x < 123$.
Используем формулу Эйлера для количества взаимно простых чисел со знаменателем $\phi(n) = n \prod_{p|n} (1 - \frac{1}{p})$, где $p$ — простые делители $n$.
$\phi(123) = 123 \cdot (1 - \frac{1}{3}) \cdot (1 - \frac{1}{41})$
$\phi(123) = 123 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{40}{41}$
$\phi(123) = (3 \cdot 41) \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{40}{41}$
$\phi(123) = 41 \cdot 2 \cdot \frac{40}{41} = 2 \cdot 40 = 80$
Таким образом, существует 80 несократимых правильных дробей со знаменателем 123.
**Ответ: 80**
