Реши тригонометрическое уравнение $\sqrt{2} \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + 1 = 0$

Нам нужно решить тригонометрическое уравнение: $$\sqrt{2} \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + 1 = 0$$ Вычтем 1 из обеих частей уравнения: $$\sqrt{2} \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = -1$$ Разделим обе части на $\sqrt{2}$: $$\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$$ Мы знаем, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому: $$\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Общее решение для $\cos(A) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ это $A = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В нашем случае $A = 2x + \frac{\pi}{4}$. Значит: $$2x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$ Разделим на два случая. Случай 1: $$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$ Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из обеих частей: $$2x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$ $$2x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi n$$ $$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$ Разделим на 2: $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$ Случай 2: $$2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$ Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из обеих частей: $$2x = -\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$ $$2x = -\frac{4\pi}{4} + 2\pi n$$ $$2x = -\pi + 2\pi n$$ Разделим на 2: $$x = -\frac{\pi}{2} + \pi n$$ Объединим оба решения. **Ответ:** $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ или $x = -\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.