Реши задачи на определение массы и объема веществ по их плотности.

1. Какова масса 0,5 л воды; бензина; масла машинного? Чтобы найти массу, нужно умножить объем на плотность вещества. Плотности веществ: * Плотность воды: $$ \rho_{\text{воды}} = 1000 \text{ кг/м}^3 = 1 \text{ г/см}^3 $$ * Плотность бензина: $$ \rho_{\text{бензина}} \approx 750 \text{ кг/м}^3 = 0.75 \text{ г/см}^3 $$ * Плотность машинного масла: $$ \rho_{\text{масла}} \approx 900 \text{ кг/м}^3 = 0.9 \text{ г/см}^3 $$ Объем дан в литрах. Переведем в кубические сантиметры: $$ 0.5 \text{ л} = 500 \text{ см}^3 $$ Теперь найдем массы: * Масса воды: $$ m_{\text{воды}} = \rho_{\text{воды}} \times V = 1 \text{ г/см}^3 \times 500 \text{ см}^3 = 500 \text{ г} = 0.5 \text{ кг} $$ * Масса бензина: $$ m_{\text{бензина}} = \rho_{\text{бензина}} \times V = 0.75 \text{ г/см}^3 \times 500 \text{ см}^3 = 375 \text{ г} = 0.375 \text{ кг} $$ * Масса машинного масла: $$ m_{\text{масла}} = \rho_{\text{масла}} \times V = 0.9 \text{ г/см}^3 \times 500 \text{ см}^3 = 450 \text{ г} = 0.45 \text{ кг} $$ **Ответ:** масса воды — 0,5 кг, масса бензина — 0,375 кг, масса машинного масла — 0,45 кг. 2. Две бочки наполнены горючим: одна — бензином, другая — керосином. Объем бочки с керосином в 3 раза больше объема бочки с бензином. Определите, во сколько раз отличаются массы бензина и керосина в бочках. **Допущение:** объём бочки с бензином равен $V_{\text{бензина}}$. Пусть объем бензина в первой бочке равен $V_{\text{бензина}}$. Тогда объем керосина во второй бочке равен $V_{\text{керосина}} = 3 \times V_{\text{бензина}}$. Плотности веществ: * Плотность бензина: $$ \rho_{\text{бензина}} \approx 750 \text{ кг/м}^3 $$ * Плотность керосина: $$ \rho_{\text{керосина}} \approx 800 \text{ кг/м}^3 $$ Масса бензина: $$ m_{\text{бензина}} = \rho_{\text{бензина}} \times V_{\text{бензина}} $$ Масса керосина: $$ m_{\text{керосина}} = \rho_{\text{керосина}} \times V_{\text{керосина}} = \rho_{\text{керосина}} \times (3 \times V_{\text{бензина}}) $$ Найдем, во сколько раз масса керосина отличается от массы бензина: $$ \frac{m_{\text{керосина}}}{m_{\text{бензина}}} = \frac{\rho_{\text{керосина}} \times 3 \times V_{\text{бензина}}}{\rho_{\text{бензина}} \times V_{\text{бензина}}} = \frac{\rho_{\text{керосина}} \times 3}{\rho_{\text{бензина}}} $$ Подставим значения плотностей: $$ \frac{m_{\text{керосина}}}{m_{\text{бензина}}} = \frac{800 \text{ кг/м}^3 \times 3}{750 \text{ кг/м}^3} = \frac{2400}{750} = 3.2 $$ **Ответ:** масса керосина в бочке в 3.2 раза больше массы бензина в бочке. 3. Каков объём бензобака автомобиля, вмещающего 32 кг бензина? Чтобы найти объем, нужно массу разделить на плотность вещества. * Масса бензина: $$ m_{\text{бензина}} = 32 \text{ кг} $$ * Плотность бензина: $$ \rho_{\text{бензина}} \approx 750 \text{ кг/м}^3 $$ Объём бензобака: $$ V = \frac{m_{\text{бензина}}}{\rho_{\text{бензина}}} = \frac{32 \text{ кг}}{750 \text{ кг/м}^3} \approx 0.04267 \text{ м}^3 $$ Переведем в литры: $$ 0.04267 \text{ м}^3 = 0.04267 \times 1000 \text{ л} \approx 42.67 \text{ л} $$ **Ответ:** объём бензобака автомобиля составляет примерно 42,67 л. 4. В аквариум длиной 30 см и шириной 20 см налита вода на высоту 25 см. Определите массу воды в аквариуме. Сначала найдем объем воды в аквариуме. * Длина аквариума: $$ a = 30 \text{ см} $$ * Ширина аквариума: $$ b = 20 \text{ см} $$ * Высота воды: $$ h = 25 \text{ см} $$ Объем воды: $$ V = a \times b \times h = 30 \text{ см} \times 20 \text{ см} \times 25 \text{ см} = 15000 \text{ см}^3 $$ Плотность воды: $$ \rho_{\text{воды}} = 1 \text{ г/см}^3 $$ Масса воды: $$ m = \rho_{\text{воды}} \times V = 1 \text{ г/см}^3 \times 15000 \text{ см}^3 = 15000 \text{ г} = 15 \text{ кг} $$ **Ответ:** масса воды в аквариуме составляет 15 кг. 5. Каков объём мраморной глыбы массой 6,75 т? Чему будет равна масса такой же глыбы из бетона? **Допущение:** Плотность мрамора: $$ \rho_{\text{мрамора}} \approx 2700 \text{ кг/м}^3 $$. Плотность бетона: $$ \rho_{\text{бетона}} \approx 2300 \text{ кг/м}^3 $$. Сначала найдем объем мраморной глыбы. * Масса мрамора: $$ m_{\text{мрамора}} = 6.75 \text{ т} = 6750 \text{ кг} $$ Объем мраморной глыбы: $$ V_{\text{мрамора}} = \frac{m_{\text{мрамора}}}{\rho_{\text{мрамора}}} = \frac{6750 \text{ кг}}{2700 \text{ кг/м}^3} = 2.5 \text{ м}^3 $$ Теперь найдем массу такой же глыбы из бетона. Объем глыбы из бетона будет таким же, как объем мраморной глыбы: $$ V_{\text{бетона}} = V_{\text{мрамора}} = 2.5 \text{ м}^3 $$. Масса глыбы из бетона: $$ m_{\text{бетона}} = \rho_{\text{бетона}} \times V_{\text{бетона}} = 2300 \text{ кг/м}^3 \times 2.5 \text{ м}^3 = 5750 \text{ кг} = 5.75 \text{ т} $$ **Ответ:** объём мраморной глыбы — 2,5 м³; масса такой же глыбы из бетона — 5,75 т. 6. Деталь, отлитая из меди, имеет массу М. Чему будет равна масса такой же детали, выполненной из дерева? **Допущение:** Плотность меди: $$ \rho_{\text{меди}} \approx 8960 \text{ кг/м}^3 $$. Плотность дерева (например, сосны): $$ \rho_{\text{дерева}} \approx 500 \text{ кг/м}^3 $$. Пусть масса детали из меди равна $M_{\text{меди}}$. Тогда объём детали: $$ V = \frac{M_{\text{меди}}}{\rho_{\text{меди}}} $$. Масса такой же детали из дерева будет равна: $$ M_{\text{дерева}} = \rho_{\text{дерева}} \times V = \rho_{\text{дерева}} \times \frac{M_{\text{меди}}}{\rho_{\text{меди}}} $$ Подставим приблизительные значения плотностей: $$ M_{\text{дерева}} \approx 500 \text{ кг/м}^3 \times \frac{M_{\text{меди}}}{8960 \text{ кг/м}^3} \approx 0.0558 \times M_{\text{меди}} $$ **Ответ:** масса такой же детали, выполненной из дерева, будет примерно в 18 раз меньше массы детали из меди (или около 0,0558 от массы меди) и зависит от конкретного вида дерева.