Две шестеренки сцепили вместе. У одной 10 зубцов, а у другой — 20. Первая шестеренка провернулась на 12 полных оборотов. На сколько оборотов провернулась вторая шестеренка?

Привет! Давай разберем эти задачи по порядку: 1. **Шестеренки:** При сцеплении шестеренок произведение количества зубьев на количество оборотов у них одинаково. Пусть $x$ — количество оборотов второй шестерни. $10 \times 12 = 20 \times x$, значит $120 = 20x$, $x = 6$. Ответ: 6 оборотов. 2. **Сумма:** Чтобы получить как можно большую трехзначную сумму из цифр 5721148, нужно расставить знаки «+» так, чтобы слагаемые были максимально возможными трехзначными числами. Очевидно, нужно использовать самые большие цифры в разрядах сотен. Например: $572 + 114 + 8 = 694$ или $8 + 114 + 572 = 694$ и другие варианты. Максимальная сумма получается при $572 + 148 + 1 = 721$ (если цифры можно менять местами), но если порядок цифр фиксирован (5, 7, 2, 1, 1, 4, 8), то варианты ограничены. Расставим так: $572 + 148 + 1 = 721$. Ответ: 721. 3. **Книги:** Нам нужно выбрать 3 книги из 4 и выложить их в стопку. Порядок в стопке имеет значение. Это размещение из 4 по 3: $A_4^3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$. Ответ: 24 способа. 4. **Города:** Чтобы из любого города попасть в любой с не более чем одной пересадкой, самый простой способ — это "звезда". Выбираем один центральный город и соединяем его со всеми остальными девятью. Тогда путь между любыми двумя городами проходит через центр (максимум одна пересадка). Потребуется 9 авиалиний. Ответ: 9. 5. **Числа:** Всего чисел 600. Делятся на 3: $600 / 3 = 200$. Делятся на 5: $600 / 5 = 120$. Делятся на 15 (и на 3, и на 5): $600 / 15 = 40$. Чисел, которые делятся на 3 или на 5: $200 + 120 - 40 = 280$. Чисел, которые НЕ делятся ни на 3, ни на 5: $600 - 280 = 320$. Ответ: 320. 6. **Лягушка:** Сумма прыжков: $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$. Для 17 прыжков это $17^2 = 289$ (нечетное число). Чтобы вернуться в начало, сумма проекций прыжков на ось должна быть равна 0 (четное число). Так как сумма прыжков всегда нечетная, лягушка не может оказаться в исходной точке. Ответ: Нет. 7. **Коты и сосиски:** Всего 6 сосисок. Первый кот может взять максимум 4 сосиски. Если он первым ходом перекусит перемычку так, что получится группа из 4 и группа из 2, он сможет забрать 4 сосиски, так как второй кот будет вынужден съесть 2 оставшиеся. Ответ: 4 сосиски.