Найди первообразную функции $f(x) = 4x^3 - 4x + 5$, график которой проходит через точку $A(1; 6)$.

Чтобы найти первообразную функции $f(x) = 4x^3 - 4x + 5$, нужно вычислить неопределенный интеграл: $$F(x) = \int (4x^3 - 4x + 5) dx$$ Разделим интеграл на части: $$F(x) = \int 4x^3 dx - \int 4x dx + \int 5 dx$$ Применяем правило интегрирования степени $x^n$: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Также помним, что константу можно выносить за знак интеграла: $$F(x) = 4 \int x^3 dx - 4 \int x dx + 5 \int dx$$ $$F(x) = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + 5x + C$$ $$F(x) = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C$$ $$F(x) = x^4 - 2x^2 + 5x + C$$ Теперь нужно найти значение константы $C$, используя то, что график первообразной проходит через точку $A(1; 6)$. Это значит, что когда $x = 1$, $F(x) = 6$. Подставляем эти значения в уравнение первообразной: $$6 = (1)^4 - 2(1)^2 + 5(1) + C$$ $$6 = 1 - 2 + 5 + C$$ $$6 = 4 + C$$ $$C = 6 - 4$$ $$C = 2$$ Теперь мы можем записать полную первообразную: $$F(x) = x^4 - 2x^2 + 5x + 2$$ **Ответ:** $F(x) = x^4 - 2x^2 + 5x + 2$