Найди длину отрезка PE, если хорды окружности AB и CP пересекаются в точке E, CE=8см, AE=3см, BE=6см.

1. Используем свойство пересекающихся хорд: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. $$AE \cdot EB = CE \cdot EP$$ Подставляем известные значения: $$3 \cdot 6 = 8 \cdot EP$$ $$18 = 8 \cdot EP$$ $$EP = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} = 2.25 \text{ см}$$ **Ответ: 2.25 см** 2. Используем свойство пересекающихся хорд: $$AO \cdot OK = MO \cdot OE$$ Нам известно $ME = MO + OE = 10$ см. Пусть $MO = x$, тогда $OE = 10 - x$. Подставляем известные значения в формулу: $$2 \cdot 12 = x \cdot (10 - x)$$ $$24 = 10x - x^2$$ $$x^2 - 10x + 24 = 0$$ Находим корни квадратного уравнения. Можно использовать формулу корней квадратного уравнения или теорему Виета. По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = 10$$ $$x_1 \cdot x_2 = 24$$ Подходящие числа - 4 и 6. Значит, $MO = 4$ см, $OE = 6$ см или $MO = 6$ см, $OE = 4$ см. **Ответ: $MO = 4$ см, $OE = 6$ см или $MO = 6$ см, $OE = 4$ см** 3. Используем свойство пересекающихся хорд: $$AO \cdot OB = DO \cdot OC$$ Нам известно $DO : OC = 3 : 4$. Пусть $DO = 3x$, а $OC = 4x$. Подставляем известные значения в формулу: $$12 \cdot 4 = 3x \cdot 4x$$ $$48 = 12x^2$$ $$x^2 = \frac{48}{12}$$ $$x^2 = 4$$ $$x = 2$$ (так как длина не может быть отрицательной) Теперь найдем длины отрезков $DO$ и $OC$: $$DO = 3x = 3 \cdot 2 = 6 \text{ см}$$ $$OC = 4x = 4 \cdot 2 = 8 \text{ см}$$ **Ответ: $DO = 6$ см, $OC = 8$ см**