В тетраэдре DABC дано: ∠ADB = 54°, ∠BDC = 72°, ∠CDA = 90°, DA = 20 см, BD = 18 см, DC = 21 см. Найдите: а) ребра основания АВС данного тетраэдра

Для решения этой задачи нам понадобятся знания геометрии, а именно теорема косинусов, чтобы найти стороны основания, и формулы для площади треугольника, чтобы найти площади боковых граней. а) Найдем ребра основания ABC. Используем теорему косинусов, чтобы найти длины сторон треугольника ABC: $AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot cos(\angle ADB)$ $AB^2 = 20^2 + 18^2 - 2 \cdot 20 \cdot 18 \cdot cos(54^\circ)$ $AB^2 = 400 + 324 - 720 \cdot 0.5878$ $AB^2 = 724 - 423.216$ $AB^2 = 300.784$ $AB = \sqrt{300.784} \approx 17.34$ см $BC^2 = BD^2 + CD^2 - 2 \cdot BD \cdot CD \cdot cos(\angle BDC)$ $BC^2 = 18^2 + 21^2 - 2 \cdot 18 \cdot 21 \cdot cos(72^\circ)$ $BC^2 = 324 + 441 - 756 \cdot 0.3090$ $BC^2 = 765 - 233.604$ $BC^2 = 531.396$ $BC = \sqrt{531.396} \approx 23.05$ см $AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot cos(\angle CDA)$ $AC^2 = 20^2 + 21^2 - 2 \cdot 20 \cdot 21 \cdot cos(90^\circ)$ $AC^2 = 400 + 441 - 840 \cdot 0$ $AC^2 = 841$ $AC = \sqrt{841} = 29$ см б) Найдем площади всех боковых граней. Для вычисления площади каждой боковой грани используем формулу Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = (a+b+c)/2$ — полупериметр треугольника, $a, b, c$ — длины сторон треугольника. Площадь грани ADB: $p = (20 + 18 + 17.34) / 2 = 27.67$ см $S = \sqrt{27.67(27.67-20)(27.67-18)(27.67-17.34)} = \sqrt{27.67 \cdot 7.67 \cdot 9.67 \cdot 10.33} = \sqrt{21135.5} \approx 145.38$ см$^2$ Площадь грани BDC: $p = (18 + 21 + 23.05) / 2 = 31.025$ см $S = \sqrt{31.025(31.025-18)(31.025-21)(31.025-23.05)} = \sqrt{31.025 \cdot 13.025 \cdot 10.025 \cdot 7.975} = \sqrt{32285.5} \approx 179.68$ см$^2$ Площадь грани CDA: $p = (20 + 21 + 29) / 2 = 35$ см $S = \sqrt{35(35-20)(35-21)(35-29)} = \sqrt{35 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 6} = \sqrt{44100} = 210$ см$^2$ **Ответ:** а) $AB \approx 17.34$ см, $BC \approx 23.05$ см, $AC = 29$ см б) Площадь ADB $\approx 145.38$ см$^2$, площадь BDC $\approx 179.68$ см$^2$, площадь CDA $= 210$ см$^2$