Реши уравнения: 1) √2 cos x - 1 = 0; 2) 3tg2x + √3 = 0. Найди решение уравнения sin x/3 = -1/2 на отрезке [0; 3π]. Реши уравнения: 1) 3 cos x - cos² x = 0

1. 1) Решим уравнение $\sqrt{2} \cos x - 1 = 0$: $$\sqrt{2} \cos x = 1$$ $$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ 2) Решим уравнение $3 \tan 2x + \sqrt{3} = 0$: $$3 \tan 2x = -\sqrt{3}$$ $$\tan 2x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$2x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$ $$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} k, k \in \mathbb{Z}$$ 2. Решим уравнение $\sin \frac{x}{3} = -\frac{1}{2}$: $$\frac{x}{3} = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{2}\right) + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ Найдем решения на отрезке $[0; 3\pi]$: * При $n = 0$: $x = -\frac{\pi}{2}$ (не входит в отрезок) * При $n = 1$: $x = \frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2}$ (не входит в отрезок) * При $n = 2$: $x = -\frac{\pi}{2} + 6\pi = \frac{11\pi}{2}$ (не входит в отрезок) * При $n = 3$: $x = \frac{\pi}{2} + 9\pi = \frac{19\pi}{2}$ (не входит в отрезок) * При $n = -1$: $x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2}$ (не входит в отрезок) Теперь рассмотрим случай, когда $n$ - целое число: * $x = -\frac{\pi}{2} + 3\pi n$ * $0 \le -\frac{\pi}{2} + 3\pi n \le 3\pi$ * $\frac{\pi}{2} \le 3\pi n \le 3\pi + \frac{\pi}{2}$$ * $\frac{1}{6} \le n \le \frac{7}{6}$ * $n = 1$, тогда $x = -\frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{5\pi}{2}$ * $x = \frac{\pi}{2} + 3\pi n$ * $0 \le \frac{\pi}{2} + 3\pi n \le 3\pi$ * $-\frac{\pi}{2} \le 3\pi n \le 3\pi - \frac{\pi}{2}$$ * $-\frac{1}{6} \le n \le \frac{5}{6}$ * $n = 0$, тогда $x = \frac{\pi}{2}$ **Ответ:** $x = \frac{\pi}{2}, x = \frac{5\pi}{2}$ 3. 1) Решим уравнение $3 \cos x - \cos^2 x = 0$: $$\cos x (3 - \cos x) = 0$$ $$\cos x = 0 \quad \text{или} \quad 3 - \cos x = 0$$ $$\cos x = 0 \quad \text{или} \quad \cos x = 3$$ Так как $\cos x$ не может быть равен 3, то $\cos x = 0$: $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$ 2) Решим уравнение $6 \sin^2 x - \sin x = 1$: $$6 \sin^2 x - \sin x - 1 = 0$$ Пусть $t = \sin x$, тогда: $$6t^2 - t - 1 = 0$$ $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$$ $$t_1 = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$ $$t_2 = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$$ Вернемся к замене: $$\sin x = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad \sin x = -\frac{1}{3}$$ $$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \quad \text{или} \quad x = (-1)^n \arcsin \left(-\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \quad \text{или} \quad x = (-1)^{n+1} \arcsin \frac{1}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ 3) Решим уравнение $4 \sin x + 5 \cos x = 4$: Разделим обе части уравнения на $\sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$: $$\frac{4}{\sqrt{41}} \sin x + \frac{5}{\sqrt{41}} \cos x = \frac{4}{\sqrt{41}}$$ Пусть $\cos \phi = \frac{4}{\sqrt{41}}$, тогда $\sin \phi = \frac{5}{\sqrt{41}}$: $$\cos \phi \sin x + \sin \phi \cos x = \frac{4}{\sqrt{41}}$$ $$\sin (x + \phi) = \frac{4}{\sqrt{41}}$$ $$x + \phi = (-1)^n \arcsin \frac{4}{\sqrt{41}} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$x = (-1)^n \arcsin \frac{4}{\sqrt{41}} - \phi + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$x = (-1)^n \arcsin \frac{4}{\sqrt{41}} - \arccos \frac{4}{\sqrt{41}} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ 4) Решим уравнение $\sin^4 x + \cos^4 x = \cos^2 2x + \frac{1}{4}$: $$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$$ $$1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = \cos^2 2x + \frac{1}{4}$$ $$1 - \frac{1}{2} (2 \sin x \cos x)^2 = \cos^2 2x + \frac{1}{4}$$ $$1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x = \cos^2 2x + \frac{1}{4}$$ $$1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x = 1 - \sin^2 2x + \frac{1}{4}$$ $$\frac{1}{2} \sin^2 2x - \frac{1}{4} = 0$$ $$\frac{1}{2} \sin^2 2x = \frac{1}{4}$$ $$\sin^2 2x = \frac{1}{2}$$ $$\sin 2x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$2x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \quad \text{или} \quad 2x = \pm \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \pm \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} n, n \in \mathbb{Z} \quad \text{или} \quad x = \pm \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{2} n, n \in \mathbb{Z}$$