Докажи, что \(\angle ADB = 90^{\circ}\) и \(\angle DBO = \angle ACO\).

1. Нужно доказать, что $\angle ADB = 90^{\circ}$. Допущение: $\triangle ABC$ - равнобедренный, так как $AB = AC$, значит, $\angle ABC = \angle ACB$. Также дано, что $\angle ABD = \angle DAC$. $\angle DBC = \angle ABC - \angle ABD$ $\angle DCB = \angle ACB - \angle DAC$ Так как $\angle ABC = \angle ACB$ и $\angle ABD = \angle DAC$, то $\angle DBC = \angle DCB$. Значит, $\triangle DBC$ - равнобедренный, и $DB = DC$. $\triangle ABD = \triangle ACD$ по двум сторонам и углу между ними ($AB = AC$, $AD$ - общая, $\angle BAD = \angle CAD$). Значит, $BD = CD$. $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ равны, следовательно, $\angle ADB = \angle ADC$. Так как $\angle ADB + \angle ADC = 180^{\circ}$, то $\angle ADB = \angle ADC = 90^{\circ}$. 2. Нужно доказать, что $\angle DBO = \angle ACO$. Допущение: $BO = OC$ и $DO = AO$. Рассмотрим $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$. В $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$: $BO = OC$ (дано), $DO = AO$ (дано), $\angle BOC = \angle AOD$ (вертикальные углы). Следовательно, $\triangle BOC = \triangle AOD$ по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что $\angle DBO = \angle ACO$.