Реши неравенства

Привет! Давай разберем эти неравенства. 1. а) $|x+3|(x-2)(3x-9) < 0$ * Заметим, что $|x+3| \ge 0$ всегда. Значит, чтобы произведение было отрицательным, нужно, чтобы $(x-2)(3x-9) < 0$. * Решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни: $x-2 = 0 \Rightarrow x = 2$ и $3x-9 = 0 \Rightarrow x = 3$. * Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах. Получаем, что решение $x \in (2, 3)$. б) $\frac{3x+1}{x-3} > 0$ * Найдем нули числителя и знаменателя: $3x+1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}$ и $x-3 = 0 \Rightarrow x = 3$. * Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах. Получаем, что решение $x \in (-\infty, -\frac{1}{3}) \cup (3, +\infty)$. в) $\begin{cases} \frac{x-5}{x+5} < 0 \\ (x+3)(x-4) > 0 \end{cases}$ * Решим первое неравенство: $\frac{x-5}{x+5} < 0$. Нули: $x = 5$ и $x = -5$. Интервалы: $(-5, 5)$. * Решим второе неравенство: $(x+3)(x-4) > 0$. Нули: $x = -3$ и $x = 4$. Интервалы: $(-\infty, -3) \cup (4, +\infty)$. * Найдем пересечение решений: $x \in (4, 5)$. г) $\frac{x^2+x-12}{x-3} > 0$ * Разложим числитель: $x^2+x-12 = (x+4)(x-3)$. * Тогда неравенство: $\frac{(x+4)(x-3)}{x-3} > 0$. Сокращаем $(x-3)$, но помним, что $x \ne 3$. * Получаем: $x+4 > 0 \Rightarrow x > -4$. Исключаем $x=3$. Ответ: $x \in (-4, 3) \cup (3, +\infty)$. 2. а) $(x^2-9)(x^2+2x+1) < 0$ * Разложим на множители: $(x-3)(x+3)(x+1)^2 < 0$. * $(x+1)^2 \ge 0$ всегда, поэтому $(x-3)(x+3) < 0$, при условии $x \ne -1$. * Решение: $x \in (-3, -1) \cup (-1, 3)$. б) $\frac{2x-4}{x^2-2x-8} < 0$ * Разложим знаменатель: $x^2-2x-8 = (x-4)(x+2)$. * Тогда неравенство: $\frac{2(x-2)}{(x-4)(x+2)} < 0$. * Нули: $x = 2, x = 4, x = -2$. Интервалы: $(-\infty, -2) \cup (2, 4)$. в) $\begin{cases} \frac{5x+2}{9} > \frac{5}{5x+2} \\ 12x-1 < 7x+2 \end{cases}$ * Решим первое неравенство: $\frac{5x+2}{9} - \frac{5}{5x+2} > 0 \Rightarrow \frac{(5x+2)^2 - 45}{9(5x+2)} > 0 \Rightarrow \frac{25x^2 + 20x - 41}{9(5x+2)} > 0$. * Решим второе неравенство: $12x-1 < 7x+2 \Rightarrow 5x < 3 \Rightarrow x < \frac{3}{5}$. * Решение первого неравенства сложное, поэтому оставим его в таком виде. Пересечение с решением второго неравенства даст окончательный ответ. г) $\frac{x^2-9}{2x^2+3} > 0$ * Знаменатель $2x^2+3 > 0$ всегда. Поэтому $x^2-9 > 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) > 0$. * Решение: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$.