В треугольнике ABC проведена биссектриса BK, \(\angle AKB = 72^\circ\), \(\angle ACB = 54^\circ\). Найди \(\angle BAC\). В равнобедренном \(\triangle ABC\) (AC основание) проведена высота BK. Известно, что \(\angle ABK = 44^\circ\), AK на 5 см меньше AB, периметр \(\triangle ABC = 26\) см. Найди углы и стороны треугольника ABC.

3. В треугольнике ABC биссектриса BK делит угол \(\angle ABC\) пополам. \(\angle AKB = 72^\circ\) – это внешний угол треугольника BKC, поэтому $$\angle KCB + \angle KBC = \angle AKB$$ $$\angle KBC = \angle AKB - \angle KCB = 72^\circ - 54^\circ = 18^\circ$$ \(\angle ABC = 2 \cdot \angle KBC = 2 \cdot 18^\circ = 36^\circ\) Сумма углов в треугольнике ABC равна 180 градусов, значит: $$\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 36^\circ - 54^\circ = 90^\circ$$ **Ответ: \(\angle BAC = 90^\circ\)** 4. Допущение: треугольник ABC равнобедренный, AC - основание. BK - высота, значит, она является и медианой. Следовательно, AK = KC. \(\angle ABK = 44^\circ\). Так как BK - высота, то \(\angle BKA = 90^\circ\). Тогда \(\angle BAK = 180^\circ - 90^\circ - 44^\circ = 46^\circ\). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, \(\angle BCA = \angle BAC = 46^\circ\). Тогда \(\angle ABC = 180^\circ - 46^\circ - 46^\circ = 88^\circ\). Пусть AB = x, тогда AK = x - 5. Периметр треугольника ABC равен AB + BC + AC = x + x + 2(x - 5) = 26. $$2x + 2x - 10 = 26$$ $$4x = 36$$ $$x = 9$$ AB = BC = 9 см, AK = 9 - 5 = 4 см, AC = 2 \cdot AK = 8 см. **Ответ: \(\angle BAC = 46^\circ\), \(\angle BCA = 46^\circ\), \(\angle ABC = 88^\circ\), AB = BC = 9 см, AC = 8 см**