Реши задачи по геометрии: 1. Найди стороны параллелограмма, если одна из них больше другой на 5 см; 2. Найди углы параллелограмма АВСД, если угол А больше угла В в 5 раз; 3. Найди углы равнобедренной трапеции, если один из них равен 65°; 4. Найди диагонали прямоугольника АВСД, если ∠САД = 30°, СД=16см; 5. В четырехугольнике АВСД: АВ=СД, ∠ABД = 40°, ∠СДВ = 40°. Докажите, что АВСД-параллелограмм

1. **Допущение:** Пусть меньшая сторона параллелограмма равна $x$, тогда большая сторона равна $x + 5$. Так как периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон, то $2(x + x + 5) = P$, где $P$ - периметр параллелограмма. Для решения задачи нужно знать периметр параллелограмма. 2. **Допущение:** Пусть угол $B = x$, тогда угол $A = 5x$. Так как сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$, то $x + 5x = 180^\circ$. Отсюда $6x = 180^\circ$, $x = 30^\circ$. Значит, угол $B = 30^\circ$, угол $A = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$. В параллелограмме противоположные углы равны. **Ответ:** $A = C = 150^\circ$, $B = D = 30^\circ$. 3. **Допущение:** В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. Возможны два случая: а) Если данный угол $65^\circ$ является углом при основании, то второй угол при этом основании также равен $65^\circ$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Следовательно, два других угла трапеции равны $180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$ каждый. б) Если данный угол $65^\circ$ не является углом при основании, то угол при другом основании также равен $65^\circ$. Тогда два других угла трапеции равны $180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$ каждый. **Ответ:** Углы трапеции равны $65^\circ$, $65^\circ$, $115^\circ$ и $115^\circ$. 4. **Допущение:** В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, образуя равнобедренные треугольники. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. Угол $CAD = 30^\circ$, $CD = 16$ см. Тогда $AD = CD \cdot ctg(30^\circ) = 16 \cdot \sqrt{3} \approx 27.71$ см. По теореме Пифагора $AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{(16\sqrt{3})^2 + 16^2} = \sqrt{256 \cdot 3 + 256} = \sqrt{256 \cdot 4} = 16 \cdot 2 = 32$ см. Так как диагонали прямоугольника равны, то $AC = BD = 32$ см. **Ответ:** Диагонали прямоугольника равны 32 см. 5. **Допущение:** Дано: $AB = CD$, $\angle ABD = 40^\circ$, $\angle CDB = 40^\circ$. Доказать, что $ABCD$ - параллелограмм. Доказательство: Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CDB$. У них сторона $BD$ - общая, $AB = CD$ (по условию), $\angle ABD = \angle CDB = 40^\circ$. Следовательно, треугольники $ABD$ и $CDB$ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов: $AD = BC$ и $\angle ADB = \angle CBD$. Так как $\angle ABD = \angle CDB = 40^\circ$, то $\angle ABD$ и $\angle CDB$ - накрест лежащие углы при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$. Следовательно, $AB \parallel CD$. Аналогично, $\angle ADB$ и $\angle CBD$ - накрест лежащие углы при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$. Следовательно, $AD \parallel BC$. Таким образом, в четырехугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно параллельны, значит, $ABCD$ - параллелограмм. 6. **Допущение:** Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы пополам. Угол $A = 80^\circ$, следовательно, угол, образованный диагональю и стороной ромба, равен $80^\circ / 2 = 40^\circ$. Так как диагонали ромба перпендикулярны, то углы, образованные диагоналями, равны $90^\circ$. Значит, углы ромба равны $80^\circ$ и $100^\circ$. Углы, образованные диагоналями при пересечении: 90 градусов.