Найди объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: y = 1 - x², y = 0

Question

Вопрос:

Найди объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: y = 1 - x², y = 0

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

г) $y = 1 - x^2$, $y = 0$ Чтобы найти объем тела вращения, нужно использовать формулу: $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$ В данном случае, $f(x) = 1 - x^2$. Нужно найти пределы интегрирования, то есть точки пересечения $y = 1 - x^2$ с осью $x$ ($y = 0$). Решаем уравнение: $1 - x^2 = 0$ $x^2 = 1$ $x = \pm 1$ Таким образом, пределы интегрирования $a = -1$ и $b = 1$. Теперь можно вычислить объем: $V = \pi \int_{-1}^1 (1 - x^2)^2 dx = \pi \int_{-1}^1 (1 - 2x^2 + x^4) dx$ $V = \pi [x - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5]_{-1}^1 = \pi [(1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5}) - (-1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{5})]$ $V = \pi [2 - \frac{4}{3} + \frac{2}{5}] = 2\pi [1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5}] = 2\pi [\frac{15 - 10 + 3}{15}] = 2\pi [\frac{8}{15}] = \frac{16\pi}{15}$ **Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{16\pi}{15}$**

Найди объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: y = 1 - x², y = 0

Ответ ассистента

Другие решения