Реши задачи по геометрии: 1) Найди угол АОД, если диагонали прямоугольника АВСД пересекаются в точке О, угол АВО равен 36°; 2) Найди углы прямоугольной трапеции, если один из ее углов равен 20°; 3) Найди углы треугольника КОМ, если диагонали ромба КМНР пересекаются в точке О, угол МНР равен 80°; 4) Найди углы трапеции, если в равнобокой трапеции сумма углов при большем основании равна 96°; 5) Найди длины сторон параллелограмма, если периметр параллелограмма равен 50 см, одна из его сторон на 5 см больше другой; 6) Докажи, что треугольник КМЕ равнобедренный и найди периметр КМНР, если в параллелограмме КМНР проведена биссектриса угла МКР, которая пересекает сторону МН в точке Е, МЕ = 10 см, ЕН = 6 см.

1. Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $\angle ABO = 36^\circ$. Найдем $\angle AOD$. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, значит, $BO = AO$. Следовательно, треугольник $AOB$ равнобедренный, и $\angle BAO = \angle ABO = 36^\circ$. Тогда $\angle AOB = 180^\circ - (36^\circ + 36^\circ) = 108^\circ$. Углы $AOD$ и $AOB$ смежные, поэтому $\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$. **Ответ: 72°** 2. Найдем углы прямоугольной трапеции, если один из её углов равен $20^\circ$. В прямоугольной трапеции два угла по $90^\circ$. Если один из углов равен $20^\circ$, то это острый угол. Тогда тупой угол равен $180^\circ - 20^\circ = 160^\circ$. **Ответ: 20°, 90°, 90°, 160°** 3. Диагонали ромба $KМНР$ пересекаются в точке $O$. Найдем углы треугольника $КОМ$, если $\angle MHP = 80^\circ$. В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов. Значит, $\angle M = \angle P = 80^\circ$, и $\angle K = \angle H = (360^\circ - 80^\circ \cdot 2) / 2 = 100^\circ$. Так как диагонали ромба являются биссектрисами, то $\angle OKM = 100^\circ / 2 = 50^\circ$, $\angle OMK = 80^\circ / 2 = 40^\circ$. $\angle KОМ = 90^\circ$, так как диагонали ромба перпендикулярны. **Ответ: 40°, 50°, 90°** 4. В равнобокой трапеции сумма углов при большем основании равна $96^\circ$. Найдем углы трапеции. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Сумма углов при большем основании равна $96^\circ$, значит, каждый из этих углов равен $96^\circ / 2 = 48^\circ$. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$, значит, углы при другом основании равны $180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$. **Ответ: 48°, 48°, 132°, 132°** 5. Периметр параллелограмма равен $50$ см. Одна из его сторон на $5$ см больше другой. Найдем длины сторон параллелограмма. Пусть меньшая сторона равна $x$, тогда большая сторона равна $x + 5$. Периметр параллелограмма равен $2(x + x + 5) = 50$. Решаем уравнение: $2(2x + 5) = 50$ $4x + 10 = 50$ $4x = 40$ $x = 10$ Значит, меньшая сторона равна $10$ см, а большая сторона равна $10 + 5 = 15$ см. **Ответ: 10 см, 10 см, 15 см, 15 см** 6. В параллелограмме $KМНР$ проведена биссектриса угла $МКР$, которая пересекает сторону $МН$ в точке $E$. а) Докажем, что треугольник $КМЕ$ равнобедренный. б) Найдем периметр $КМНР$, если $МЕ = 10$ см, $ЕН = 6$ см. а) В параллелограмме $KМНР$ $\angle МКР = \angle МНР$. Биссектриса угла $МКР$ делит угол $МКР$ пополам, значит, $\angle МКЕ = \angle ЕКР$. Углы $МЕК$ и $ЕКР$ накрест лежащие при параллельных прямых $КР$ и $МН$ и секущей $КЕ$, значит, $\angle МЕК = \angle ЕКР$. Следовательно, $\angle МКЕ = \angle МЕК$, а значит, треугольник $КМЕ$ равнобедренный, и $КМ = МЕ$. б) $МЕ = 10$ см, $ЕН = 6$ см, значит, $МН = МЕ + ЕН = 10 + 6 = 16$ см. Так как $KМ = МЕ$, то $KМ = 10$ см. В параллелограмме противоположные стороны равны, значит, $КР = МН = 16$ см, $МР = КМ = 10$ см. Периметр параллелограмма $KМНР$ равен $2(КМ + МН) = 2(10 + 16) = 52$ см. **Ответ: 52 см**