Вычисли, упрости выражения, сократи дробь из вариантов 3 и 4

**Вариант 3** 1. Вычислите: * a) $2 \cdot 27^{\frac{1}{3}} = 2 \cdot (3^3)^{\frac{1}{3}} = 2 \cdot 3 = 6$ * б) $36^{-\frac{1}{2}} = (6^2)^{-\frac{1}{2}} = 6^{-1} = \frac{1}{6}$ 2. Упростите выражение: * a) $b^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}} = b^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} = b^{\frac{-2 + 3}{6}} = b^{\frac{1}{6}}$ * б) $\frac{a^3a^{\frac{3}{4}}}{a^4} = \frac{a^{3+\frac{3}{4}}}{a^4} = \frac{a^{\frac{12+3}{4}}}{a^4} = \frac{a^{\frac{15}{4}}}{a^4} = a^{\frac{15}{4} - 4} = a^{\frac{15-16}{4}} = a^{-\frac{1}{4}}$ * в) $(y^2)^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{3}{2}} = y^{-1}y^{\frac{3}{2}} = y^{-1 + \frac{3}{2}} = y^{\frac{-2+3}{2}} = y^{\frac{1}{2}}$ 3. Представьте выражение $c^{\frac{7}{4}} \sqrt[4]{c}$ в виде степени с основанием c: $$c^{\frac{7}{4}} \sqrt[4]{c} = c^{\frac{7}{4}} \cdot c^{\frac{1}{4}} = c^{\frac{7}{4} + \frac{1}{4}} = c^{\frac{8}{4}} = c^2$$ 4. Сократите дробь: * a) $\frac{5x^2+x}{5+x^2} = \frac{x(5x+1)}{5+x^2}$ * б) $\frac{a-4}{2+a^2}$ - дальнейшее сокращение невозможно. 5. Упростите: $$\frac{a+b}{a + 2a^{0.5}b^{0.5} + b} : (\frac{a^{0.5} + b^{0.5}}{a^{0.5} - b^{0.5}} - \frac{2a^{0.5}b^{0.5}}{a-b}) = \frac{a+b}{(a^{0.5}+b^{0.5})^2} : (\frac{(a^{0.5} + b^{0.5})^2 - 2a^{0.5}b^{0.5}}{a-b}) = \frac{a+b}{(a^{0.5}+b^{0.5})^2} : (\frac{a + 2a^{0.5}b^{0.5} + b - 2a^{0.5}b^{0.5}}{a-b}) = \frac{a+b}{(a^{0.5}+b^{0.5})^2} : (\frac{a + b}{a-b}) = \frac{a+b}{(a^{0.5}+b^{0.5})^2} \cdot \frac{a-b}{a+b} = \frac{a-b}{(a^{0.5}+b^{0.5})^2} = \frac{(a^{0.5}-b^{0.5})(a^{0.5}+b^{0.5})}{(a^{0.5}+b^{0.5})^2} = \frac{a^{0.5}-b^{0.5}}{a^{0.5}+b^{0.5}}$$ **Вариант 4** 1. Вычислите: * a) $3 \cdot 8^{\frac{5}{3}} = 3 \cdot (2^3)^{\frac{5}{3}} = 3 \cdot 2^5 = 3 \cdot 32 = 96$ * б) $64^{-\frac{1}{2}} = (8^2)^{-\frac{1}{2}} = 8^{-1} = \frac{1}{8}$ 2. Упростите выражение: * a) $a^{\frac{2}{3}}a^{-\frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}} = a^{\frac{4-3}{6}} = a^{\frac{1}{6}}$ * б) $\frac{b^{\frac{1}{2}}b^{-1}}{b^{\frac{3}{2}}} = \frac{b^{\frac{1}{2} - 1}}{b^{\frac{3}{2}}} = \frac{b^{-\frac{1}{2}}}{b^{\frac{3}{2}}} = b^{-\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} = b^{-\frac{4}{2}} = b^{-2} = \frac{1}{b^2}$ * в) $(c^2)^{\frac{3}{2}}c^{-\frac{8}{5}} = c^3c^{-\frac{8}{5}} = c^{3 - \frac{8}{5}} = c^{\frac{15-8}{5}} = c^{\frac{7}{5}}$ 3. Представьте выражение $x^{\frac{5}{2}} \sqrt{x}$ в виде степени с основанием x: $$x^{\frac{5}{2}} \sqrt{x} = x^{\frac{5}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{5}{2} + \frac{1}{2}} = x^{\frac{6}{2}} = x^3$$ 4. Сократите дробь: * a) $\frac{a^2-2}{a-\frac{2}{a^2}} = \frac{a^2-2}{\frac{a^3-2}{a^2}} = \frac{(a^2-2)a^2}{a^3-2}$ * б) $\frac{1-a}{1+\frac{1}{a^2}} = \frac{1-a}{\frac{a^2+1}{a^2}} = \frac{(1-a)a^2}{a^2+1}$ 5. Упростите: $$\frac{1}{a^{0.5}+b^{0.5}} - \frac{a^{0.5}+b^{0.5}}{a-b} \cdot \frac{a-2a^{0.5}b^{0.5}+b}{2b^{0.5}} = \frac{1}{a^{0.5}+b^{0.5}} - \frac{a^{0.5}+b^{0.5}}{a-b} \cdot \frac{(a^{0.5}-b^{0.5})^2}{2b^{0.5}} = \frac{1}{a^{0.5}+b^{0.5}} - \frac{a^{0.5}+b^{0.5}}{(a^{0.5}-b^{0.5})(a^{0.5}+b^{0.5})} \cdot \frac{(a^{0.5}-b^{0.5})^2}{2b^{0.5}} = \frac{1}{a^{0.5}+b^{0.5}} - \frac{a^{0.5}-b^{0.5}}{2b^{0.5}} = \frac{2b^{0.5} - (a^{0.5}-b^{0.5})(a^{0.5}+b^{0.5})}{2b^{0.5}(a^{0.5}+b^{0.5})} = \frac{2b^{0.5} - (a - b)}{2b^{0.5}(a^{0.5}+b^{0.5})} = \frac{2b^{0.5} - a + b}{2b^{0.5}(a^{0.5}+b^{0.5})}$$