Найди радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника ABC, если известен его периметр (36 см) и площадь (63° см²).

Question

Вопрос:

Найди радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника ABC, если известен его периметр (36 см) и площадь (63° см²).

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Ошибка в условии. Площадь измеряется в см², а не в °см². Предположим, что площадь равна 63 см². Пусть катеты прямоугольного треугольника $a$ и $b$, гипотенуза $c$, радиус вписанной окружности $r$. Тогда: 1) Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2}ab = 63$. 2) Периметр треугольника: $P = a + b + c = 36$. 3) Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a + b - c}{2}$. Из теоремы Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$. Выразим $a + b$ из уравнения периметра: $a + b = 36 - c$. Возведем обе части в квадрат: $(a + b)^2 = (36 - c)^2$, тогда $a^2 + 2ab + b^2 = 1296 - 72c + c^2$. Заменим $a^2 + b^2$ на $c^2$: $c^2 + 2ab = 1296 - 72c + c^2$, следовательно, $2ab = 1296 - 72c$. Так как $\frac{1}{2}ab = 63$, то $ab = 126$. Подставим это значение в предыдущее уравнение: $2 \cdot 126 = 1296 - 72c$. Получаем: $252 = 1296 - 72c$, откуда $72c = 1044$, и $c = \frac{1044}{72} = 14.5$. Теперь найдем $a + b$: $a + b = 36 - c = 36 - 14.5 = 21.5$. Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{21.5 - 14.5}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$. **Ответ: радиус вписанной окружности равен 3,5 см.**

Найди радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника ABC, если известен его периметр (36 см) и площадь (63° см²).

Ответ ассистента

Другие решения