В равнобедренной трапеции найди углы трапеции, если диагональ является биссектрисой угла А и известен угол ACM. Найди основания трапеции, если известны разность периметров треугольников, образованных диагональю, и сумма оснований.

1. В равнобедренной трапеции $ABCD$ ($AD$ – большее основание) диагональ $AC$ является биссектрисой угла $A$. Нужно найти углы трапеции, если $\angle ACM = 81^\circ$. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Так как $AC$ — биссектриса угла $A$, то $\angle CAD = \angle BAC$. Обозначим $\angle CAD = x$. Тогда $\angle BAC = x$. $\angle BCA = \angle CAD = x$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. $\angle AMC = \angle BCA = x = 81^\circ$. $\angle BAD = 2x = 2 \cdot 81^\circ = 162^\circ$. Значит, $\angle CDA = \angle BAD = 162^\circ$. $\angle ABC = \angle BCD = 180^\circ - 162^\circ = 18^\circ$. **Ответ:** $162^\circ, 162^\circ, 18^\circ, 18^\circ$. 2. Равнобедренную трапецию диагональ разбила на два треугольника, разность периметров которых равна $12$ см, а сумма оснований равна $36$ см. Нужно найти основания трапеции. Пусть $a$ и $b$ — основания трапеции, а $c$ — боковая сторона. Тогда периметры треугольников, образованных диагональю, будут $a + c + d$ и $b + c + d$, где $d$ — длина диагонали. Разность периметров равна $|(a + c + d) - (b + c + d)| = |a - b| = 12$ см. По условию $a + b = 36$ см. Получаем систему уравнений: $\begin{cases} |a - b| = 12 \\ a + b = 36 \end{cases}$ Рассмотрим два случая: 1) $a - b = 12$. Тогда $a = b + 12$. Подставляем во второе уравнение: $(b + 12) + b = 36$ $2b = 24$ $b = 12$ см. $a = 12 + 12 = 24$ см. 2) $b - a = 12$. Тогда $b = a + 12$. Подставляем во второе уравнение: $a + (a + 12) = 36$ $2a = 24$ $a = 12$ см. $b = 12 + 12 = 24$ см. В обоих случаях получаем, что одно основание равно $12$ см, а другое $24$ см. **Ответ:** $12$ см и $24$ см.