Реши задачу про тетраэдр ABCD: построй плоскость EFP, проходящую через середины рёбер AB, AC и AD; докажи, что плоскость EFP параллельна плоскости BCD; докажи, что треугольник EFP подобен треугольнику BCD; найди площадь треугольника EFP, если площадь треугольника BCD равна 36 см².

Question

Вопрос:

Реши задачу про тетраэдр ABCD: построй плоскость EFP, проходящую через середины рёбер AB, AC и AD; докажи, что плоскость EFP параллельна плоскости BCD; докажи, что треугольник EFP подобен треугольнику BCD; найди площадь треугольника EFP, если площадь треугольника BCD равна 36 см².

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Привет! Вот решение: а) Чтобы построить плоскость $EFP$, нужно соединить середины рёбер $AB$, $AC$ и $AD$. Получится треугольник $EFP$ внутри тетраэдра $ABCD$. б) Плоскость $EFP$ параллельна плоскости $BCD$, потому что $EF$ параллельна $BC$, $EP$ параллельна $CD$ и $FP$ параллельна $BD$. Это следует из того, что $E$, $F$ и $P$ — середины рёбер, и, значит, отрезки, соединяющие эти точки, являются средними линиями треугольников, образующих грани тетраэдра. А средняя линия треугольника всегда параллельна его основанию. в) Треугольник $EFP$ подобен треугольнику $BCD$, потому что их стороны пропорциональны (все в два раза меньше) и углы между ними равны. Это также следует из параллельности сторон, доказанной в пункте (б). г) Площадь треугольника $EFP$ равна 9 см². Так как стороны треугольника $EFP$ в два раза меньше сторон треугольника $BCD$, то площадь $EFP$ в четыре раза меньше площади $BCD$. Значит, $36 / 4 = 9$. **Ответ:** Площадь треугольника $EFP$ равна 9 см².

Ответ ассистента

Другие решения