Найди стороны параллелограмма, углы параллелограмма, углы прямоугольной трапеции, диагонали прямоугольника, докажи, что ABCD - параллелограмм, найди углы ромба.

1. Пусть сторона $BC = x$, тогда сторона $AB = 2x$. Периметр параллелограмма $P = 2(AB + BC)$. $$54 = 2(2x + x)$$ $$54 = 6x$$ $$x = 9$$ Тогда $BC = 9$ см, $AB = 18$ см. **Ответ:** 9 см, 18 см. 2. Пусть угол $A = y$, тогда угол $B = y + 40$. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. $$y + y + 40 = 180$$ $$2y = 140$$ $$y = 70$$ Значит, угол $A = 70^\circ$, угол $B = 110^\circ$. Углы $C$ и $D$ равны углам $A$ и $B$ соответственно. **Ответ:** $A = 70^\circ$, $B = 110^\circ$, $C = 70^\circ$, $D = 110^\circ$. 3. В прямоугольной трапеции один угол равен $90^\circ$. Если больший угол равен $120^\circ$, то второй угол при этой же стороне равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Два других угла равны $90^\circ$. **Ответ:** $60^\circ$, $90^\circ$, $90^\circ$, $120^\circ$. 4. Допущение: $АВД$ и $АД$ относятся к одному прямоугольнику. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольник $АВД$. $АД = 6$ см. $\angle АВД = 30^\circ$. $tg 30^\circ = \frac{АД}{ВД}$. $ВД = \frac{АД}{tg 30^\circ} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 6\sqrt{3}$. Тогда $АС = ВД = 6\sqrt{3}$ см. **Ответ:** $6\sqrt{3}$ см. 5. В четырехугольнике $ABCD$ суммы углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равны $180^\circ$. Это означает, что $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм по определению. 6. Допущение: $PKE$ - прямоугольный треугольник. В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым углом. Значит, $\angle PЕK = 90^\circ$ и $\angle EРK = 30^\circ$. Тогда $\angle EKР = 180 - 90 - 30 = 60^\circ$. Так как $PK$ - диагональ, то $\angle HKP = 2 \cdot \angle EКP = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$. $\angle HMP = \angle HKP = 120^\circ$. $\angle MHP = \angle MPK = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. **Ответ:** $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$.