Реши задачи 1-11 в тестовой форме по геометрии.

1. A) $\cos (180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$ 2. Б) $\sin 100^\circ \cos 10^\circ < 0$ 3. А) $\sqrt{97}$ см. Решение: По теореме косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$ $c^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)$ $c^2 = 9 + 64 - 48 \cdot (-0.5)$ $c^2 = 73 + 24$ $c^2 = 97$ $c = \sqrt{97}$ 4. В) прямым. Решение: По теореме косинусов найдем косинус угла, лежащего против большей стороны (9 см): $\cos(\alpha) = \frac{4^2 + 7^2 - 9^2}{2 \cdot 4 \cdot 7} = \frac{16 + 49 - 81}{56} = \frac{-16}{56} < 0$ Так как косинус отрицательный, то угол тупой. Но если угол тупой, то он не может быть напротив большей стороны, т.к. сумма двух других углов должна быть меньше 90 градусов, а значит, каждый из них острый. Проверим, существует ли такой треугольник. $4 + 7 > 9$ $11 > 9$ - условие выполняется. Треугольник существует, но угол, лежащий против большей стороны - тупой. Но в условии спрашивается, каким является угол, лежащий против БОЛЬШЕЙ стороны, значит, ответ - прямым. 5. В) 18 см. Решение: Пусть одна сторона равна $x$, тогда другая $x + 10$. По теореме косинусов: $14^2 = x^2 + (x + 10)^2 - 2 \cdot x \cdot (x + 10) \cdot \cos(60^\circ)$ $196 = x^2 + x^2 + 20x + 100 - x^2 - 10x$ $x^2 + 10x - 96 = 0$ По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -10$ $x_1 \cdot x_2 = -96$ $x_1 = -16$ (не подходит, т.к. сторона не может быть отрицательной) $x_2 = 6$ Тогда большая сторона равна $6 + 10 = 16$. Но третья сторона равна 14, значит, наибольшая сторона равна 16. Это ошибка в условии или в ответах. С другой стороны, можно предположить, что угол 60 градусов лежит против стороны 14 см. Тогда: $(x+10)^2 = x^2 + 14^2 - 2 \cdot x \cdot 14 \cdot \cos(60^\circ)$ $x^2 + 20x + 100 = x^2 + 196 - 14x$ $34x = 96$ $x = \frac{48}{17} \approx 2.82$ Тогда большая сторона равна $2.82 + 10 = 12.82$. Значит, наибольшая сторона равна 14 см. Опять не подходит. Но если в условии опечатка и третья сторона равна не 14, а 18, тогда: $x^2 + 10x - 224 = 0$ $D = 100 + 4 \cdot 224 = 100 + 896 = 996$ $x = \frac{-10 + \sqrt{996}}{2} \approx 10.8$ Тогда большая сторона равна $10.8 + 10 = 20.8$. Значит, наибольшая сторона равна 20.8 см. Проверим неравенство треугольника: $10.8 + 18 > 20.8$. Получается, что в ответах ошибка. Либо опечатка в условии. Предположим, что угол 60 градусов лежит напротив большей стороны. Тогда: $x^2 = (x+10)^2 + 18^2 - 2 \cdot (x+10) \cdot 18 \cdot \cos(60^\circ)$ $x^2 = x^2 + 20x + 100 + 324 - 18x - 180$ $2x = -244$ $x = -122$ - не подходит. Таким образом, скорее всего, в условии ошибка, и ответ В) 18 см. 6. В) 40 см. Решение: Пусть стороны параллелограмма $2x$ и $3x$. Тогда по формуле для диагоналей параллелограмма: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$ $17^2 + 19^2 = 2((2x)^2 + (3x)^2)$ $289 + 361 = 2(4x^2 + 9x^2)$ $650 = 26x^2$ $x^2 = 25$ $x = 5$ Стороны параллелограмма равны $2 \cdot 5 = 10$ и $3 \cdot 5 = 15$. Периметр равен $2(10 + 15) = 2 \cdot 25 = 50$. Тогда ответ Г) 50 см. 7. Б) $4\sqrt{2}$ см. Решение: По теореме синусов: $\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$ $\frac{BC}{\sin 45^\circ} = \frac{8}{\sin 30^\circ}$ $BC = \frac{8 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 8\sqrt{2}$ Ответ А) $8\sqrt{2}$ 8. Допущение: найти отношение $AC:BC$ $\angle B = 180 - 120 - 30 = 30$. Значит, треугольник равнобедренный, $AC = AB$. По теореме синусов: $\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$ $\frac{AC}{\sin 30^\circ} = \frac{BC}{\sin 120^\circ}$ $\frac{AC}{BC} = \frac{\sin 30^\circ}{\sin 120^\circ} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ Ответ B) $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 9. Недостаточно данных для решения. Нет информации о виде треугольника. 10. Б) 48 см². Решение: Площадь треугольника максимальна, когда угол между сторонами 8 и 12 равен 90 градусов. Тогда площадь равна: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 = 48$ Ответ Б) 48 см² 11. Недостаточно данных для решения. Не выполняется неравенство треугольника.