Реши уравнение 2 sin²x + √3sin (2x + π) + √2 sin (x + 2π) = √6 cos x

Привет! Давай решим это уравнение вместе. У нас есть: $$2 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin(2x + \pi) + \sqrt{2} \sin(x + 2\pi) = \sqrt{6} \cos x$$ Сначала упростим уравнение, используя тригонометрические свойства: 1. $\sin(2x + \pi) = -\sin(2x)$ 2. $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ Теперь уравнение выглядит так: $$2 \sin^2 x - \sqrt{3} \sin(2x) + \sqrt{2} \sin x = \sqrt{6} \cos x$$ Заменим $\sin(2x)$ на $2 \sin x \cos x$: $$2 \sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x \cos x + \sqrt{2} \sin x = \sqrt{6} \cos x$$ Перенесем все в одну сторону: $$2 \sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x \cos x + \sqrt{2} \sin x - \sqrt{6} \cos x = 0$$ Сгруппируем слагаемые: $$2 \sin x(\sin x - \sqrt{3} \cos x) + \sqrt{2}(\sin x - \sqrt{3} \cos x) = 0$$ Вынесем общий множитель $(\sin x - \sqrt{3} \cos x)$: $$(\sin x - \sqrt{3} \cos x)(2 \sin x + \sqrt{2}) = 0$$ Теперь у нас есть два случая: **Случай 1:** $$\sin x - \sqrt{3} \cos x = 0$$ $$\sin x = \sqrt{3} \cos x$$ $$\tan x = \sqrt{3}$$ $$x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ **Случай 2:** $$2 \sin x + \sqrt{2} = 0$$ $$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ **Ответ:** $$x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$