Конечно, давай упростим выражения по порядку!
1) $\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} - \frac{b}{a + b} + \frac{b}{b - a}$
* Разложим знаменатель первой дроби: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$.
* Приведем дроби к общему знаменателю $(a + b)(a - b)$:
$$\frac{a^2 + b^2}{(a + b)(a - b)} - \frac{b(a - b)}{(a + b)(a - b)} - \frac{b(a + b)}{(a - b)(a + b)}$$
* Соберем все в одну дробь:
$$\frac{a^2 + b^2 - b(a - b) - b(a + b)}{(a + b)(a - b)}$$
* Раскроем скобки в числителе:
$$\frac{a^2 + b^2 - ab + b^2 - ab - b^2}{(a + b)(a - b)}$$
* Приведем подобные члены в числителе:
$$\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{(a + b)(a - b)}$$
* Заметим, что $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$:
$$\frac{(a - b)^2}{(a + b)(a - b)}$$
* Сократим дробь на $(a - b)$:
$$\frac{a - b}{a + b}$$
**Ответ: $\frac{a - b}{a + b}$**
2) $\frac{x + 7}{3x + 12} - \frac{2}{x} + \frac{7x + 40}{3x^2 + 12x}$
* Вынесем общие множители в знаменателях:
$$\frac{x + 7}{3(x + 4)} - \frac{2}{x} + \frac{7x + 40}{3x(x + 4)}$$
* Приведем дроби к общему знаменателю $3x(x + 4)$:
$$\frac{x(x + 7)}{3x(x + 4)} - \frac{2 \cdot 3(x + 4)}{3x(x + 4)} + \frac{7x + 40}{3x(x + 4)}$$
* Соберем все в одну дробь:
$$\frac{x(x + 7) - 6(x + 4) + 7x + 40}{3x(x + 4)}$$
* Раскроем скобки в числителе:
$$\frac{x^2 + 7x - 6x - 24 + 7x + 40}{3x(x + 4)}$$
* Приведем подобные члены в числителе:
$$\frac{x^2 + 8x + 16}{3x(x + 4)}$$
* Заметим, что $x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$:
$$\frac{(x + 4)^2}{3x(x + 4)}$$
* Сократим дробь на $(x + 4)$:
$$\frac{x + 4}{3x}$$
**Ответ: $\frac{x + 4}{3x}$**
3) $\frac{a - 1}{3a^2 + 6a + 3} - \frac{1}{2a + 2}$
* Вынесем общие множители в знаменателях:
$$\frac{a - 1}{3(a^2 + 2a + 1)} - \frac{1}{2(a + 1)}$$
* Заметим, что $a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2$:
$$\frac{a - 1}{3(a + 1)^2} - \frac{1}{2(a + 1)}$$
* Приведем дроби к общему знаменателю $6(a + 1)^2$:
$$\frac{2(a - 1)}{6(a + 1)^2} - \frac{3(a + 1)}{6(a + 1)^2}$$
* Соберем все в одну дробь:
$$\frac{2(a - 1) - 3(a + 1)}{6(a + 1)^2}$$
* Раскроем скобки в числителе:
$$\frac{2a - 2 - 3a - 3}{6(a + 1)^2}$$
* Приведем подобные члены в числителе:
$$\frac{-a - 5}{6(a + 1)^2}$$
**Ответ: $\frac{-a - 5}{6(a + 1)^2}$**
4) $\frac{y + 6}{4y + 8} - \frac{y + 2}{4y - 8} + \frac{5}{y^2 - 4}$
* Вынесем общие множители в знаменателях:
$$\frac{y + 6}{4(y + 2)} - \frac{y + 2}{4(y - 2)} + \frac{5}{(y - 2)(y + 2)}$$
* Приведем дроби к общему знаменателю $4(y - 2)(y + 2)$:
$$\frac{(y + 6)(y - 2)}{4(y - 2)(y + 2)} - \frac{(y + 2)(y + 2)}{4(y - 2)(y + 2)} + \frac{5 \cdot 4}{4(y - 2)(y + 2)}$$
* Соберем все в одну дробь:
$$\frac{(y + 6)(y - 2) - (y + 2)(y + 2) + 20}{4(y - 2)(y + 2)}$$
* Раскроем скобки в числителе:
$$\frac{y^2 + 4y - 12 - (y^2 + 4y + 4) + 20}{4(y - 2)(y + 2)}$$
$$\frac{y^2 + 4y - 12 - y^2 - 4y - 4 + 20}{4(y - 2)(y + 2)}$$
* Приведем подобные члены в числителе:
$$\frac{4}{4(y - 2)(y + 2)}$$
* Сократим дробь на 4:
$$\frac{1}{(y - 2)(y + 2)}$$
* Заметим, что $(y - 2)(y + 2) = y^2 - 4$:
$$\frac{1}{y^2 - 4}$$
**Ответ: $\frac{1}{y^2 - 4}$**
5) $\frac{a + 3}{a^2 + 3a + 9} - \frac{1}{a - 3} + \frac{a^3 + 3a - 9}{a^3 - 27}$
* Заметим, что $a^3 - 27 = (a - 3)(a^2 + 3a + 9)$:
$$\frac{a + 3}{a^2 + 3a + 9} - \frac{1}{a - 3} + \frac{a^3 + 3a - 9}{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)}$$
* Приведем дроби к общему знаменателю $(a - 3)(a^2 + 3a + 9)$:
$$\frac{(a + 3)(a - 3)}{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)} - \frac{a^2 + 3a + 9}{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)} + \frac{a^3 + 3a - 9}{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)}$$
* Соберем все в одну дробь:
$$\frac{(a + 3)(a - 3) - (a^2 + 3a + 9) + a^3 + 3a - 9}{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)}$$
* Раскроем скобки в числителе:
$$\frac{a^2 - 9 - a^2 - 3a - 9 + a^3 + 3a - 9}{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)}$$
* Приведем подобные члены в числителе:
$$\frac{a^3 - 27}{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)}$$
* Заметим, что $a^3 - 27 = (a - 3)(a^2 + 3a + 9)$:
$$\frac{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)}{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)}$$
* Сократим дробь:
$$1$$
**Ответ: 1**
