Реши задания: 1) укажи для функции область определения, нули, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания (убывания), наибольшее и наименьшее значения функции, область изменения; 2) найди область определения функции y=√9-x²/x+1; 3) построй график функции y=(x-2)²-1 и укажи область определения, нули, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания (убывания), область изменения; 4) докажи, что функция f(x) четная.

Привет! Давай разберем задания. 1. Функция $y = f(x)$ задана графиком. а) Область определения: это все значения $x$, для которых существует график функции. Смотрим на график: он начинается при $x = -3$ и заканчивается при $x = 4$. Значит, область определения: $[-3; 4]$. б) Нули функции: это точки, где график пересекает ось $x$. На графике это точки $x = -1$ и $x = 2$. в) Промежутки знакопостоянства: это интервалы, где функция больше нуля (график выше оси $x$) и где меньше нуля (график ниже оси $x$). * $f(x) > 0$ на $[-3; -1)$ и $(2; 4]$ * $f(x) < 0$ на $(-1; 2)$ г) Промежутки возрастания и убывания: * Функция возрастает на $[-1; 0)$ и $(3; 4]$ * Функция убывает на $[-3; -1)$ и $(0; 3)$ д) Наибольшее и наименьшее значения функции: смотрим на самую высокую и самую низкую точки графика. * Наибольшее значение: $y = 3$ * Наименьшее значение: $y = -2$ е) Область изменения функции: это все значения $y$, которые принимает функция. Смотрим на график: он начинается при $y = -2$ и заканчивается при $y = 3$. Значит, область изменения: $[-2; 3]$. 2. Найдите область определения функции $y = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{x + 1}$. Чтобы найти область определения, нужно учесть два условия: * Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $9 - x^2 \geq 0$. * Знаменатель не должен быть равен нулю: $x + 1 \neq 0$. Решаем первое неравенство: $$9 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 9 \Rightarrow -3 \leq x \leq 3$$ Решаем второе условие: $$x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$$ Объединяем решения: $x$ должен быть от $-3$ до $3$, но не равен $-1$. Значит, область определения: $[-3; -1) \cup (-1; 3]$. 3. Постройте график функции $y = (x - 2)^2 - 1$. а) Область определения: так как это парабола, то $x$ может быть любым числом. Значит, область определения: $(-\infty; +\infty)$. б) Нули функции: чтобы найти нули, нужно решить уравнение $(x - 2)^2 - 1 = 0$. $$(x - 2)^2 - 1 = 0 \Rightarrow (x - 2)^2 = 1 \Rightarrow x - 2 = \pm 1$$ Значит, $x = 2 + 1 = 3$ или $x = 2 - 1 = 1$. Нули функции: $x = 1$ и $x = 3$. в) Промежутки знакопостоянства: * $f(x) > 0$ на $(-\infty; 1)$ и $(3; +\infty)$ * $f(x) < 0$ на $(1; 3)$ г) Промежутки возрастания и убывания: * Функция возрастает на $(2; +\infty)$ * Функция убывает на $(-\infty; 2)$ д) Область изменения функции: так как вершина параболы в точке $(2; -1)$, то наименьшее значение $y = -1$, а наибольшего нет. Значит, область изменения: $[-1; +\infty)$. :::div .chart-container @chart-1::: 4. Докажите, что функция $f(x)$ четная, если: а) $f(x) = 7\cos(4x) + 3x^2$. Чтобы доказать, что функция четная, нужно показать, что $f(-x) = f(x)$. $$f(-x) = 7\cos(4(-x)) + 3(-x)^2 = 7\cos(-4x) + 3x^2$$ Так как $\cos(-x) = \cos(x)$, то $$f(-x) = 7\cos(4x) + 3x^2 = f(x)$$ Значит, функция $f(x) = 7\cos(4x) + 3x^2$ четная. б) $f(x) = \frac{x^2 - x}{x + 2} - \frac{x^2 + x}{x - 2}$. $$f(-x) = \frac{(-x)^2 - (-x)}{-x + 2} - \frac{(-x)^2 + (-x)}{-x - 2} = \frac{x^2 + x}{-x + 2} - \frac{x^2 - x}{-x - 2}$$ $$f(-x) = \frac{x^2 + x}{2 - x} + \frac{x^2 - x}{2 + x} = -\frac{x^2 + x}{x - 2} + \frac{x^2 - x}{x + 2} = \frac{x^2 - x}{x + 2} - \frac{x^2 + x}{x - 2} = f(x)$$ Значит, функция $f(x) = \frac{x^2 - x}{x + 2} - \frac{x^2 + x}{x - 2}$ четная.