133) Пусть $\angle BDA = 14^\circ$ и $\angle BDC = 106^\circ$. Тогда $\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 14^\circ + 106^\circ = 120^\circ$. Так как $AB = CD$, то трапеция $ABCD$ равнобедренная. Значит, $\angle BAD = \angle ADC = 120^\circ$. Рассмотрим треугольник $ABD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. \$\\$\angle ABD = 180^\circ - \angle BAD - \angle BDA = 180^\circ - 120^\circ - 14^\circ = 46^\circ$.\$\\$
**Ответ: 46°**
135) В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны. Сумма всех углов трапеции равна $360^\circ$. Пусть два угла в сумме составляют $352^\circ$, тогда два других угла в сумме составляют $360^\circ - 352^\circ = 8^\circ$. Так как углы при основании равны, то каждый из этих углов равен $8^\circ / 2 = 4^\circ$. Это невозможно, так как в трапеции не может быть таких маленьких углов. Значит, $352^\circ$ - это сумма двух тупых углов. Тогда каждый из них равен $352^\circ / 2 = 176^\circ$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Тогда острый угол равен $180^\circ - 176^\circ = 4^\circ$.
**Ответ: 4°**
137) Допущение: Высота делит основание AD на отрезки $AE = 8$ и $ED = 15$, где E - основание высоты, опущенной из вершины C на основание AD.
Так как трапеция равнобедренная, то высота, опущенная из вершины B на основание AD, делит основание AD на отрезки $AF = 15$ и $FD = 8$, где F - основание высоты, опущенной из вершины B на основание AD.
$BC = FE = AD - AF - DE = AD - 15 - 8$. $AD = AE + ED = 8 + 15 = 23$. $BC = 23 - 15 - 8 = 0$.
**Ответ: 0**
139) Пусть основания трапеции $a = 4$ и $b = 10$. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m = (a + b) / 2 = (4 + 10) / 2 = 7$.
Диагонали трапеции делят среднюю линию на три отрезка. Больший из отрезков равен полусумме большего основания и меньшего основания, то есть $1/2 * (10 - 4) = 3$.
Тогда большая часть средней линии равна $m + 3 = 7 + 3 = 10$.
**Ответ: 5**
141) Допущение: трапеция ABCD, основания AD=63 и BC=27, боковая сторона AB=30. Диагональ AC=?
Проведём высоты BH и CF. Тогда AH = (AD-BC)/2 = (63-27)/2 = 18. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора, BH = $\sqrt{AB^2 - AH^2}$ = $\sqrt{30^2 - 18^2}$ = $\sqrt{900 - 324}$ = $\sqrt{576}$ = 24. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AFC. AF = AH + HF = AH + BC = 18 + 27 = 45. Тогда AC = $\sqrt{AF^2 + CF^2}$ = $\sqrt{45^2 + 24^2}$ = $\sqrt{2025 + 576}$ = $\sqrt{2601}$ = 51.
**Ответ: 51**
143) Пусть $a$ - меньшее основание, $b$ - большее основание, $h$ - высота. Дано: $a = h = 4$, $\tan(\alpha) = \frac{1}{4}$, где $\alpha$ - острый угол трапеции. $\tan(\alpha) = \frac{h}{b-a} = \frac{4}{b-4} = \frac{1}{4}$. Тогда $b - 4 = 16$, $b = 20$.
**Ответ: 20**
145) Допущение: основания 7 и 19, боковые стороны равны по 10. Площадь трапеции?
Полусумма оснований: (7+19)/2 = 13
Высота: $\sqrt{10^2 - ((19-7)/2)^2}$ = $\sqrt{100 - 36}$ = 8
Площадь: 13 * 8 = 104
**Ответ: 104**
