Реши задачи 14-25 из контрольной работы по геометрии и алгебре.

14. Это задача на арифметическую прогрессию. Первый член прогрессии $a_1 = 0.5$, разность $d = 0.4$, количество членов $n = 7$. Сумма $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$. Подставляем значения: $S_7 = \frac{7}{2} (2 \cdot 0.5 + (7-1) \cdot 0.4) = \frac{7}{2} (1 + 6 \cdot 0.4) = \frac{7}{2} (1 + 2.4) = \frac{7}{2} \cdot 3.4 = 7 \cdot 1.7 = 11.9$. **Ответ: 11.9 метров** 15. В остроугольном треугольнике $ETZ$ проведена высота $TR$, $\angle TEZ = 12°$. Нужно найти $\angle ETR$. $\angle ETR = 180° - (90° + 12°) = 180° - 102° = 78°$ **Ответ: 78 градусов** 16. В окружности с центром $N$ проведены диаметры $CM$ и $TH$. $\angle CMT = 39°$. Найдите $\angle CNH$. $\angle CNT = 2 \cdot \angle CMT = 2 \cdot 39° = 78°$ $\angle CNM = 180° - \angle CNT = 180° - 78° = 102°$ **Ответ: 102 градуса** 17. Один из углов параллелограмма равен $111°$. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180°$. Меньший угол равен $180° - 111° = 69°$ **Ответ: 69 градусов** 19. Укажите номера верных утверждений: 1) Треугольник с углами $40°, 70°, 70°$ - равнобедренный. **(Верно)** 2) Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка. **(Верно)** 3) Медиана треугольника делит пополам угол, из которого проведена. **(Неверно)** **Ответ: 1 и 2** 20. Решите уравнение $x^4 = (4x + 45)^2$. $x^4 = (4x + 45)^2$ $x^2 = |4x + 45|$ Рассмотрим два случая: 1) $x^2 = 4x + 45$ $x^2 - 4x - 45 = 0$ $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196$ $x_1 = \frac{4 + \sqrt{196}}{2} = \frac{4 + 14}{2} = 9$ $x_2 = \frac{4 - \sqrt{196}}{2} = \frac{4 - 14}{2} = -5$ 2) $x^2 = -4x - 45$ $x^2 + 4x + 45 = 0$ $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 16 - 180 = -164 < 0$. Корней нет. **Ответ: 9, -5** 21. Свежие фрукты содержат 75% воды, а высушенные - 5%. Сколько сухих фруктов получится из 228 кг свежих фруктов? В 228 кг свежих фруктов сухого вещества $100% - 75% = 25%$. Масса сухого вещества в свежих фруктах: $228 \cdot 0.25 = 57$ кг. В сухих фруктах это же количество составляет $100% - 5% = 95%$. Масса сухих фруктов: $\frac{57}{0.95} = 60$ кг. **Ответ: 60 кг** 22. Постройте график функции $y = \begin{cases} x^2 + 12x + 41, & x \geq -7 \\ x + 14, & x < -7 \end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки. :::div .chart-container @chart-1::: Для $x \geq -7$: $y = x^2 + 12x + 41 = (x + 6)^2 + 5$. Это парабола с вершиной в точке $(-6, 5)$. Для $x < -7$: $y = x + 14$. Это прямая. При $x = -7$, $y = -7 + 14 = 7$. Парабола при $x = -7$: $y = (-7)^2 + 12(-7) + 41 = 49 - 84 + 41 = 6$. Прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки при $m = 5$ (горизонтальная прямая касается параболы в вершине) и при $m = 7$ (горизонтальная прямая проходит через точку $(-7, 7)$). **Ответ: m = 5, m = 7** 23. Отрезки $ES$ и $TN$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $TN$, если $ES = 150$, $TN = 80$, а расстояние от центра окружности до хорды $ES$ равно 40. **Допущение:** Хорды $ES$ и $TN$ лежат по одну сторону от центра окружности. Пусть $O$ — центр окружности, $OM$ — перпендикуляр от $O$ к $ES$, $OK$ — перпендикуляр от $O$ к $TN$. Тогда $OM = 40$. $EM = ES/2 = 150/2 = 75$, $TK = TN/2 = 80/2 = 40$. В прямоугольном треугольнике $OME$: $OE^2 = OM^2 + EM^2 = 40^2 + 75^2 = 1600 + 5625 = 7225$. Радиус окружности $OE = \sqrt{7225} = 85$. В прямоугольном треугольнике $OKT$: $OT^2 = OK^2 + TK^2$. $OK^2 = OT^2 - TK^2 = 85^2 - 40^2 = 7225 - 1600 = 5625$. $OK = \sqrt{5625} = 75$. **Ответ: 75** 24. Основания $PF$ и $SX$ трапеции $SPFX$ равны соответственно 11 и 99, $PX = 33$. Докажите, что треугольники $FPX$ и $PXS$ подобны. $\frac{PF}{SX} = \frac{11}{99} = \frac{1}{9}$ $\frac{PX}{PX} = 1$ $\frac{FX}{PS}$ - неизвестно **Недостаточно данных для решения.** Нужно знать либо длину $FX$ и $PS$, либо угол между сторонами. 25. Боковые стороны $CZ$ и $TX$ трапеции $CZTX$ равны соответственно 60 и 68, а основание $ZT$ равно 18. Биссектриса угла $CXT$ проходит через середину стороны $CZ$. Найдите площадь трапеции. **Недостаточно данных для решения.** Неизвестно, является ли трапеция равнобедренной, а также длина основания $CX$.