Найди третью сторону треугольника и его площадь, если две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, а угол между ними — 60°.

1. Для нахождения третьей стороны треугольника используем теорему косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma)$. Подставляем значения: $c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot cos(60^\circ) = 36 + 64 - 96 \cdot 0.5 = 100 - 48 = 52$. Тогда $c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ см. Для нахождения площади треугольника используем формулу: $S = \frac{1}{2}ab \cdot sin(\gamma)$. Подставляем значения: $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot sin(60^\circ) = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$ см$^2$. **Ответ: Третья сторона равна $2\sqrt{13}$ см, площадь равна $12\sqrt{3}$ см$^2$.** 2. По теореме синусов: $\frac{BC}{sin(A)} = \frac{AB}{sin(C)}$. $BC = \frac{AB \cdot sin(A)}{sin(C)} = \frac{3\sqrt{2} \cdot sin(120^\circ)}{sin(45^\circ)} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{3}$ см. **Ответ: $BC = 3\sqrt{3}$ см.** 3. Проверим, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным. Для этого сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон. $13^2 = 169$ $7^2 + 10^2 = 49 + 100 = 149$ Так как $169 > 149$, треугольник является тупоугольным. **Ответ: Треугольник тупоугольный.** 4. Пусть одна сторона равна $x$ см, тогда другая сторона равна $(x + 8)$ см. Используем теорему косинусов для нахождения $x$: $28^2 = x^2 + (x+8)^2 - 2x(x+8)cos(120^\circ)$ $784 = x^2 + x^2 + 16x + 64 - 2x(x+8)(-\frac{1}{2})$ $784 = 2x^2 + 16x + 64 + x^2 + 8x$ $3x^2 + 24x - 720 = 0$ $x^2 + 8x - 240 = 0$ Решим квадратное уравнение: $x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(1)(-240)}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 960}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{1024}}{2} = \frac{-8 \pm 32}{2}$. $x_1 = \frac{-8 + 32}{2} = \frac{24}{2} = 12$ $x_2 = \frac{-8 - 32}{2} = \frac{-40}{2} = -20$ (не подходит, так как сторона не может быть отрицательной). Итак, одна сторона равна 12 см, другая равна $12 + 8 = 20$ см. Периметр равен $12 + 20 + 28 = 60$ см. **Ответ: Периметр треугольника равен 60 см.**