Упрости выражение и найди его значение: 1) (sin² α - 1) / (1 - cos² α) при α = π/4

Конечно, давай упростим и найдем значения этих выражений! 1) $\frac{\sin^2 \alpha - 1}{1 - \cos^2 \alpha}$ при $\alpha = \frac{\pi}{4}$; Сначала упростим выражение. Заметим, что $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$. Также, $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$. Тогда выражение можно переписать как: $\frac{-\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = -\ctg^2 \alpha$ Теперь подставим $\alpha = \frac{\pi}{4}$. Мы знаем, что $\ctg \frac{\pi}{4} = 1$, поэтому: $-\ctg^2 \frac{\pi}{4} = -1^2 = -1$ **Ответ: -1** 2) $\cos^2 \alpha + \ctg^2 \alpha + \sin^2 \alpha$ при $\alpha = \frac{\pi}{6}$; Сначала упростим выражение. Заметим, что $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$. Тогда выражение можно переписать как: $1 + \ctg^2 \alpha$ Теперь подставим $\alpha = \frac{\pi}{6}$. Мы знаем, что $\ctg \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$, поэтому: $1 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$ **Ответ: 4** 3) $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1$ при $\alpha = \frac{\pi}{3}$; Сначала упростим выражение. Заметим, что $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1 = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \tg^2 \alpha$ Теперь подставим $\alpha = \frac{\pi}{3}$. Мы знаем, что $\tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, поэтому: $\tg^2 \frac{\pi}{3} = (\sqrt{3})^2 = 3$ **Ответ: 3** 4) $\cos^2 \alpha + \tg^2 \alpha \cdot \ctg^2 \alpha + \sin^2 \alpha$ при $\alpha = \frac{\pi}{3}$. Сначала упростим выражение. Заметим, что $\tg^2 \alpha \cdot \ctg^2 \alpha = 1$, так как тангенс и котангенс - взаимно обратные функции. Также, $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$. Тогда выражение можно переписать как: $1 + 1 = 2$ **Ответ: 2**