Начерти два неколлинеарных вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Построй векторы, равные: а) \(\frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{b}\); б) \(2\vec{b} - \vec{a}\).

1. Построй два вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) так, чтобы они не лежали на одной прямой. * а) Отложи от начала вектора \(\frac{1}{2}\vec{a}\), затем от его конца отложи \(3\vec{b}\). Полученный вектор будет равен \(\frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{b}\). * б) Отложи от начала вектор \(2\vec{b}\), затем от его конца отложи \(-\vec{a}\) (то есть, вектор, направленный в противоположную сторону вектора \(\vec{a}\)). Полученный вектор будет равен \(2\vec{b} - \vec{a}\). 2. \(\vec{AO} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})\). Так как \(BK = KC\), то \(K\) – середина \(BC\). Тогда \(\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\). \(\vec{KD} = \vec{AD} - \vec{AK} = \vec{b} - (\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) = -\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\). 3. Высота в равнобедренной трапеции, опущенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на два отрезка. Меньший из них равен полуразности оснований, а больший – полусумме оснований. Тогда полуразность оснований равна 5 см, а полусумма равна 12 см. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть 12 см. **Ответ: 12 см**. 4. \(\vec{AO} = \frac{2}{3} \cdot \vec{AM}\), где \(M\) – середина \(BC\). \(\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})\). Тогда \(\vec{AO} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b})\). **Ответ: \(\vec{AO} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b})\)**.