Реши уравнение x6-64=0

Решаем уравнение $x^6 - 64 = 0$. Это можно представить как разность квадратов: $(x^3)^2 - 8^2 = 0$. Разложим на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $(x^3 - 8)(x^3 + 8) = 0$ Теперь у нас есть два случая: 1) $x^3 - 8 = 0$. Это можно записать как $x^3 = 8$. Значит, $x = \sqrt[3]{8} = 2$. 2) $x^3 + 8 = 0$. Это можно записать как $x^3 = -8$. Значит, $x = \sqrt[3]{-8} = -2$. Но это только вещественные корни. Если рассматривать комплексные корни, то уравнение $x^6 - 64 = 0$ имеет 6 корней. Их можно найти, представив 64 в комплексной форме и используя формулу Муавра. $x^6 = 64 = 2^6(\\cos(0 + 2\pi k) + i \\sin(0 + 2\pi k))$, где $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$. $x_k = 2(\\cos(\frac{\pi k}{3}) + i \\sin(\frac{\pi k}{3}))$ Подставляя значения $k$, получим: $x_0 = 2(\\cos(0) + i \\sin(0)) = 2$ $x_1 = 2(\\cos(\frac{\pi}{3}) + i \\sin(\frac{\pi}{3})) = 2(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + i\sqrt{3}$ $x_2 = 2(\\cos(\frac{2\pi}{3}) + i \\sin(\frac{2\pi}{3})) = 2(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 + i\sqrt{3}$ $x_3 = 2(\\cos(\pi) + i \\sin(\pi)) = 2(-1 + i0) = -2$ $x_4 = 2(\\cos(\frac{4\pi}{3}) + i \\sin(\frac{4\pi}{3})) = 2(-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 - i\sqrt{3}$ $x_5 = 2(\\cos(\frac{5\pi}{3}) + i \\sin(\frac{5\pi}{3})) = 2(\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 - i\sqrt{3}$ **Ответ:** $x = 2, -2, 1 + i\sqrt{3}, -1 + i\sqrt{3}, -1 - i\sqrt{3}, 1 - i\sqrt{3}$