Найди производную функции, составь уравнение касательной к графику функции, исследуй функцию на монотонность, найди наибольшее и наименьшее значения функции и по графику определи точки максимума и минимума функции, а также промежутки убывания функции.

1. Найди производную функции: a) $y = (9 - 7x)^8$; $y' = 8(9 - 7x)^{8-1} * (-7) = -56(9 - 7x)^7$ б) $y = \sqrt{9x + 1}$; $y' = \frac{1}{2\sqrt{9x + 1}} * 9 = \frac{9}{2\sqrt{9x + 1}}$ в) $y = cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4})$; $y' = -sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) * \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4})$ г) $y = \frac{2}{5x + 4}$; $y' = 2 * (-(5x + 4)^{-2}) * 5 = -\frac{10}{(5x + 4)^2}$ 2. Составь уравнение касательной к графику функции $y=-\frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + 2x - 11$ в точке с абсциссой $x = 2$. $y(2) = -\frac{2^4}{4} + \frac{2^2}{2} + 2*2 - 11 = -4 + 2 + 4 - 11 = -9$ $y' = -x^3 + x + 2$ $y'(2) = -2^3 + 2 + 2 = -8 + 4 = -4$ Уравнение касательной: $y = y'(x_0)(x - x_0) + y(x_0)$ $y = -4(x - 2) - 9 = -4x + 8 - 9 = -4x - 1$ 3. Исследуй функцию на монотонность: a) $y = -\frac{2}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 2x - 10$; $y' = -2x^2 + 5x - 2$ $-2x^2 + 5x - 2 = 0$ $D = 25 - 4 * (-2) * (-2) = 25 - 16 = 9$ $x_1 = \frac{-5 + 3}{-4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$ $x_2 = \frac{-5 - 3}{-4} = \frac{-8}{-4} = 2$ На $(-\infty; \frac{1}{2})$ функция убывает. На $(\frac{1}{2}; 2)$ функция возрастает. На $(2; +\infty)$ функция убывает. б) $y = \sqrt{4x + 9} - 2x$. $y' = \frac{1}{2\sqrt{4x + 9}} * 4 - 2 = \frac{2}{\sqrt{4x + 9}} - 2$ $\frac{2}{\sqrt{4x + 9}} - 2 = 0$ $\frac{2}{\sqrt{4x + 9}} = 2$ $\sqrt{4x + 9} = 1$ $4x + 9 = 1$ $4x = -8$ $x = -2$ Производная не определена при $x < -\frac{9}{4}$. На $(- \frac{9}{4}; -2)$ функция возрастает. На $(-2; +\infty)$ функция убывает. 4. Найди наибольшее и наименьшее значения функции: 1. $y = \frac{x + 4}{\sqrt{x}}$ на отрезке $[1; 9]$; $y' = \frac{\sqrt{x} - (x + 4) * \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{\sqrt{x} - \frac{x + 4}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{\frac{2x - x - 4}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{x - 4}{2x\sqrt{x}}$ $\frac{x - 4}{2x\sqrt{x}} = 0$ x = 4 y(1) = (1 + 4) / \sqrt{1} = 5 y(4) = (4 + 4) / \sqrt{4} = 8 / 2 = 4 y(9) = (9 + 4) / \sqrt{9} = 13 / 3 = 4.33$ Наибольшее значение: 5, наименьшее значение: 4. 2. $y = sin^2 x - cos^2 x$ на отрезке $[0; \pi]$. $y = -cos(2x)$ $y' = 2sin(2x)$ $2sin(2x) = 0$ $sin(2x) = 0$ $2x = \pi * n, n \in Z$ $x = \frac{\pi}{2} * n$ На отрезке $[0; \pi]$: $x = 0, x = \frac{\pi}{2}, x = \pi$ y(0) = -cos(0) = -1 y($\frac{\pi}{2}$) = -cos($\pi$) = 1 y($\pi$) = -cos(2$\pi$) = -1 Наибольшее значение: 1, наименьшее значение: -1. 5. По графику определи: a) точки максимума и минимума функции $y = f(x)$; Точка максимума: x = -1. Точка минимума: x = 1. б) промежутки убывания функции $y = f(x)$. Функция убывает на промежутках: $(-\infty; -3)$ и $(0; 4)$.