Реши задачи по геометрии: 1) Найди третью сторону треугольника, если две стороны равны 3 см и 8 см, а угол между ними составляет 60°. 2) Найди угол C в остроугольном треугольнике ABC, если AB = √3 см, BC = √2 см, ∠A = 45°. 3) Найди большую сторону параллелограмма, если большая диагональ равна √3 см и образует со сторонами углы 15° и 45°. 4) Найди медиану, проведенную к большей стороне треугольника со сторонами 16 см, 18 см и 26 см.

1. Применим теорему косинусов, чтобы найти третью сторону треугольника (пусть она будет $c$): $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma)$, где $a = 3$ см, $b = 8$ см, $\gamma = 60^\circ$. $c^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot cos(60^\circ) = 9 + 64 - 48 \cdot \frac{1}{2} = 73 - 24 = 49$. $c = \sqrt{49} = 7$ см. **Ответ: 7 см** 2. Используем теорему синусов: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$. Нам дано $AB = \sqrt{3}$ см, $BC = \sqrt{2}$ см, $\angle A = 45^\circ$. Нужно найти $\angle C$. $\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$ $\frac{\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\sin C}$ $\sin C = \frac{\sqrt{3} \cdot \sin 45^\circ}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\angle C = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 60^\circ$ **Ответ: 60°** 3. Пусть $d$ - большая диагональ параллелограмма, равная $\sqrt{3}$ см. Пусть углы, которые она образует со сторонами, равны $15^\circ$ и $45^\circ$. Обозначим стороны параллелограмма как $a$ и $b$. Применим теорему косинусов для треугольника, образованного сторонами $a$ и $b$ и диагональю $d$: $d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta)$, где $\theta$ - угол между сторонами $a$ и $b$. Угол между сторонами параллелограмма равен $180^\circ - 15^\circ - 45^\circ = 120^\circ$. $\sqrt{3}^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120^\circ)$ $3 = a^2 + b^2 + ab$ Также можно выразить стороны $a$ и $b$ через диагональ $d$ и углы $15^\circ$ и $45^\circ$: $\frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 15^\circ} = \frac{d}{\sin 120^\circ}$ $a = \frac{d \sin 45^\circ}{\sin 120^\circ} = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{2}$ $b = \frac{d \sin 15^\circ}{\sin 120^\circ} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sin 15^\circ}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2 \sin 15^\circ$ $\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ $b = 2 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ Большая сторона параллелограмма равна $\sqrt{2}$ см. **Ответ: $\sqrt{2}$ см** 4. Чтобы найти медиану, проведённую к большей стороне треугольника со сторонами 16 см, 18 см и 26 см, можно использовать формулу: $m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$, где $m_c$ - медиана к стороне $c$, $a$ и $b$ - другие две стороны. В нашем случае $a = 16$ см, $b = 18$ см, $c = 26$ см. $m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 16^2 + 2 \cdot 18^2 - 26^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 256 + 2 \cdot 324 - 676} = \frac{1}{2} \sqrt{512 + 648 - 676} = \frac{1}{2} \sqrt{484} = \frac{1}{2} \cdot 22 = 11$ см. **Ответ: 11 см**