Найди значение выражения, определи, какие числа не входят в область допустимых значений дроби, сократи дробь, найди сумму или разность, выполни действия, упрости выражение, вырази С1 из формулы ёмкости, упрости выражение, сократи дробь, упрости выражение, докажи, что верно равенство.

1. Подставляем значения $a = 0.4$ и $b = -5$ в выражение $\frac{2a - b}{ab}$: $$\frac{2(0.4) - (-5)}{(0.4)(-5)} = \frac{0.8 + 5}{-2} = \frac{5.8}{-2} = -2.9$$ **Ответ: -2.9** 2. a) Дробь $\frac{5x}{x+1}$ не имеет смысла, когда знаменатель равен нулю. Значит, $x + 1 = 0$, откуда $x = -1$. б) Дробь $\frac{a-4}{3a}$ не имеет смысла, когда знаменатель равен нулю. Значит, $3a = 0$, откуда $a = 0$. 3. Сокращаем дробь $\frac{b^2 - c^2}{b^2 - bc}$: $$\frac{b^2 - c^2}{b^2 - bc} = \frac{(b - c)(b + c)}{b(b - c)} = \frac{b + c}{b}$$ 4. a) Находим разность дробей $\frac{20}{a^2 + 4a} - \frac{5}{a}$: $$\frac{20}{a^2 + 4a} - \frac{5}{a} = \frac{20}{a(a + 4)} - \frac{5}{a} = \frac{20 - 5(a + 4)}{a(a + 4)} = \frac{20 - 5a - 20}{a(a + 4)} = \frac{-5a}{a(a + 4)} = \frac{-5}{a + 4}$$ б) Находим сумму $6m + \frac{3 - 7m^2}{m}$: $$6m + \frac{3 - 7m^2}{m} = \frac{6m^2 + 3 - 7m^2}{m} = \frac{3 - m^2}{m}$$ 5. a) Выполняем действия $\frac{x^2 - a^2}{2ax^2} : \frac{ax}{a + x}$: $$\frac{x^2 - a^2}{2ax^2} : \frac{ax}{a + x} = \frac{(x - a)(x + a)}{2ax^2} \cdot \frac{a + x}{ax} = \frac{(x - a)(x + a)^2}{2ax^3}$$ б) Выполняем действия $\frac{8m^2}{n} : 2mn$: $$\frac{8m^2}{n} : 2mn = \frac{8m^2}{n} \cdot \frac{1}{2mn} = \frac{4}{n^2}$$ 6. Упрощаем выражение $\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2\right) \cdot \frac{1}{a - b}$: $$\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2\right) \cdot \frac{1}{a - b} = \left(\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab}\right) \cdot \frac{1}{a - b} = \frac{(a - b)^2}{ab} \cdot \frac{1}{a - b} = \frac{a - b}{ab}$$ 7. Выражаем $C_1$ из формулы $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$: $$\frac{1}{C_1} = \frac{1}{C} - \frac{1}{C_2} = \frac{C_2 - C}{CC_2}$$ $$C_1 = \frac{CC_2}{C_2 - C}$$ 8. Упрощаем выражение $\frac{3a^2b}{x^2} \cdot \frac{x}{ab^2} : \frac{3a^2}{x^2b}$: $$\frac{3a^2b}{x^2} \cdot \frac{x}{ab^2} : \frac{3a^2}{x^2b} = \frac{3a^2b}{x^2} \cdot \frac{x}{ab^2} \cdot \frac{x^2b}{3a^2} = \frac{3a^2bx \cdot x^2b}{x^2ab^2 \cdot 3a^2} = \frac{x}{a}$$ 9. Сокращаем дробь $\frac{2x^2 - 2y^2}{1 - 2x - 2y} \cdot \frac{x + y}{1}$: $$\frac{2x^2 - 2y^2}{1 - 2x - 2y} \cdot (x + y) = \frac{2(x^2 - y^2)}{-(2x + 2y - 1)} = \frac{2(x - y)(x + y)}{-(2(x + y) - 1)}$$ 10. Упрощаем выражение $\left(\frac{a - 1}{a} - a\right)^2 - \left(\frac{a - 1}{a} + a\right)^2$: Используем формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = \frac{a-1}{a} - a$ и $B = \frac{a-1}{a} + a$. Тогда: $$\left(\frac{a - 1}{a} - a\right)^2 - \left(\frac{a - 1}{a} + a\right)^2 = \left(\frac{a - 1}{a} - a - \frac{a - 1}{a} - a\right) \left(\frac{a - 1}{a} - a + \frac{a - 1}{a} + a\right) = (-2a) \cdot \left(\frac{2(a - 1)}{a}\right) = -4a \cdot \frac{a - 1}{a} = -4(a - 1) = -4a + 4$$ 11. Докажем, что верно равенство $\frac{1}{(x - y)(y - z)} + \frac{1}{(y - z)(z - x)} + \frac{1}{(z - x)(y - x)} = 0$: Приведем к общему знаменателю: $$\frac{(z - x) - (x - y) + (y - z)}{(x - y)(y - z)(z - x)} = \frac{z - x - x + y + y - z}{(x - y)(y - z)(z - x)} = \frac{-2x + 2y}{(x - y)(y - z)(z - x)} = \frac{2(y - x)}{(x - y)(y - z)(z - x)} = \frac{-2(x - y)}{(x - y)(y - z)(z - x)} = \frac{-2}{(y - z)(z - x)}$$ **Допущение:** В задании ошибка, должно быть $\frac{1}{(z - x)(x - y)}$, а не $\frac{1}{(z - x)(y - x)}$. Тогда: $$\frac{1}{(x - y)(y - z)} + \frac{1}{(y - z)(z - x)} + \frac{1}{(z - x)(x - y)} = \frac{(z - x) + (x - y) + (y - z)}{(x - y)(y - z)(z - x)} = \frac{z - x + x - y + y - z}{(x - y)(y - z)(z - x)} = \frac{0}{(x - y)(y - z)(z - x)} = 0$$ **Ответ: 0**