Вычисли $\cos 765^\circ$ и $\sin \frac{19 \pi}{6}$; вычисли $\sin \alpha$, если $\cos \alpha = \frac{5}{13}$ и $-6\pi < \alpha < -5\pi$; упрости выражения $\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha – \beta)$ и $\frac{\cos(\pi - \alpha) + \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{1+2\cos(-\alpha) \sin(-\alpha)}$; реши уравнения $2\cos \frac{x}{2} = 1 + \cos x$ и $\sin(\frac{\pi}{2} - 3x) \cos 2x - 1 = \sin 3x \cos(\frac{3\pi}{2} - 2x)$; докажи тождество $\cos 4 \alpha + 1 = \frac{1}{2} \sin 4 \alpha (ctg \alpha - tg \alpha)$.

1. 1) $\cos 765^\circ = \cos (765^\circ - 2 \cdot 360^\circ) = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 2) $\sin \frac{19\pi}{6} = \sin (3\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$ 2. $\cos \alpha = \frac{5}{13}$ и $-6\pi < \alpha < -5\pi$. Значит, $\alpha$ лежит в четвертой четверти, где синус отрицателен. Тогда $\sin \alpha = -\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = -\sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = -\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$ 3. 1) $\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta + \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta = 2\sin\alpha\cos\beta$ 2) $\frac{\cos(\pi - \alpha) + \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{1 + 2\cos(-\alpha)\sin(-\alpha)} = \frac{-\cos\alpha + \sin\alpha}{1 - 2\cos\alpha\sin\alpha} = \frac{-\cos\alpha + \sin\alpha}{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha - 2\cos\alpha\sin\alpha} = \frac{-\cos\alpha + \sin\alpha}{(\sin\alpha - \cos\alpha)^2} = \frac{1}{\sin\alpha - \cos\alpha}$ 4. 1) $2 \cos \frac{x}{2} = 1 + \cos x$ $2 \cos \frac{x}{2} = 2\cos^2 \frac{x}{2}$ $2\cos^2 \frac{x}{2} - 2 \cos \frac{x}{2} = 0$ $\cos \frac{x}{2} (\cos \frac{x}{2} - 1) = 0$ $\cos \frac{x}{2} = 0$ или $\cos \frac{x}{2} = 1$ $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$ или $\frac{x}{2} = 2\pi k$ $x = \pi + 2\pi k$ или $x = 4\pi k$ 2) $\sin(\frac{\pi}{2} - 3x) \cos 2x - 1 = \sin 3x \cos(\frac{3\pi}{2} - 2x)$ $\cos 3x \cos 2x - 1 = -\sin 3x \sin 2x$ $\cos 3x \cos 2x + \sin 3x \sin 2x = 1$ $\cos (3x - 2x) = 1$ $\cos x = 1$ $x = 2\pi k$ 5. Доказать тождество $\cos 4\alpha + 1 = \frac{1}{2} \sin 4\alpha (ctg \alpha - tg \alpha)$. $\frac{1}{2} \sin 4\alpha (ctg \alpha - tg \alpha) = \frac{1}{2} \sin 4\alpha (\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}) = \frac{1}{2} \sin 4\alpha (\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}) = \frac{1}{2} 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha (\frac{\cos 2\alpha}{\frac{1}{2} \sin 2\alpha}) = 2 \cos^2 2\alpha = \cos 4\alpha + 1$ Что и требовалось доказать.