Найди число k, если вектор MO = k * (вектор x + вектор y) в треугольнике MNK, где O - точка пересечения медиан, вектор MN = вектор x, вектор MK = вектор y.

Точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Выразим вектор $\vec{MO}$ через векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$. Пусть $N_1$ - середина $MK$. Тогда $\vec{MN_1} = \vec{MN} + \vec{NN_1} = \vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$. Так как $O$ лежит на $MN_1$ и делит её в отношении $2:1$ от вершины $M$, то $\vec{MO} = \frac{2}{3} \vec{MN_1}$. Следовательно, $\vec{MO} = \frac{2}{3} (\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}) = \frac{2}{3}\vec{x} + \frac{1}{3}\vec{y} = \frac{2}{3}(\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y})$. Но по условию $\vec{MO} = k (\vec{x} + \vec{y})$. Чтобы найти $k$, нужно выразить $\vec{MO}$ как $k(\vec{x} + \vec{y})$. $\vec{MO} = \frac{2}{3} \vec{x} + \frac{1}{3} \vec{y} = k(\vec{x} + \vec{y})$. Это не так просто преобразовать. Давай лучше выразим $\vec{NO}$ через $\vec{x}$ и $\vec{y}$. $\vec{NO} = \vec{AO} - \vec{AN} = \frac{1}{3} \vec{AN_1} - \vec{AN} = \frac{1}{3} (\vec{x} + \frac{1}{2} \vec{y}) - \vec{x} = -\frac{2}{3} \vec{x} + \frac{1}{6} \vec{y}$. Вектор $\vec{MO} = \vec{MN} + \vec{NO} = \vec{x} + ( -\frac{2}{3} \vec{x} + \frac{1}{6} \vec{y}) = \frac{1}{3} \vec{x} + \frac{1}{6} \vec{y} = k (\vec{x} + \vec{y})$. $\frac{1}{3} \vec{x} + \frac{1}{6} \vec{y} = k \vec{x} + k \vec{y}$. Тогда $k = \frac{1}{3}$ и $k = \frac{1}{6}$. Противоречие. Значит, нельзя представить $\vec{MO}$ в виде $k(\vec{x} + \vec{y})$. Но если в условии была опечатка и имелось в виду $\vec{MO} = k (\vec{MN} + \vec{MK})$: $\vec{MO} = \frac{1}{3} \vec{x} + \frac{1}{6} \vec{y} = k (\vec{x} + \vec{y})$. Тогда $\vec{MO} = \frac{1}{3} \vec{MN} + \frac{1}{6} \vec{MK}$. **Ответ: Такого $k$ не существует, но если $\vec{MO} = k \cdot (\vec{MN} + \vec{MK})$, то $k = \frac{1}{6}$**