Реши задачи по геометрии варианта 1

Вариант 1. 1. а) $\triangle ABC \sim \triangle AKM$: $\angle A$ – общий. $\angle AKM = \angle ABC$ (как соответственные при $KM \parallel BC$ и секущей $AB$). Значит, $\triangle ABC \sim \triangle AKM$ по двум углам. б) Пусть периметр $\triangle AKM = P_{AKM}$, периметр $\triangle ABC = P_{ABC}$. Так как $\triangle ABC \sim \triangle AKM$, то $\frac{P_{ABC}}{P_{AKM}} = \frac{AB}{AK}$. По условию $AK:AB = 1:8$, значит, $AB:AK = 8:1$. Тогда $\frac{P_{ABC}}{15} = 8$, следовательно, $P_{ABC} = 15 \cdot 8 = 120$ см. **Ответ: 120 см** 2. а) В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ точка $O$ – точка пересечения диагоналей. Докажем, что $\triangle BOC \sim \triangle DOA$. $\angle BOC = \angle DOA$ (как вертикальные). $\angle OBC = \angle ODA$ (как накрест лежащие при $BC \parallel AD$ и секущей $BD$). Значит, $\triangle BOC \sim \triangle DOA$ по двум углам. б) Так как $\triangle BOC \sim \triangle DOA$, то $\frac{BC}{AD} = \frac{BO}{OD}$. По условию $AD = 12$ см, $BO:OD = 1:2$, значит, $\frac{BO}{OD} = \frac{1}{2}$. Тогда $\frac{BC}{12} = \frac{1}{2}$, следовательно, $BC = \frac{12}{2} = 6$ см. **Ответ: 6 см**