Найди координаты и длину вектора с, если с = -1/4*a + b, a{-6; 4}, b{2; -8}

Решение задачи №1: Чтобы найти координаты вектора $\vec{c}$, нужно выполнить действия с координатами векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $\vec{c} = -\frac{1}{4}\vec{a} + \vec{b}$ $\vec{a} = \{-6; 4\}, \vec{b} = \{2; -8\}$ $\vec{c} = -\frac{1}{4} \{-6; 4\} + \{2; -8\} = \{\frac{6}{4}; -1\} + \{2; -8\} = \{1.5 + 2; -1 - 8\} = \{3.5; -9\}$ Координаты вектора $\vec{c}$ найдены: $\vec{c} \{3.5; -9\}$. Теперь найдём длину вектора $\vec{c}$. Длина вектора находится по формуле: $|\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ $|\vec{c}| = \sqrt{(3.5)^2 + (-9)^2} = \sqrt{12.25 + 81} = \sqrt{93.25} \approx 9.66$ **Ответ:** Координаты вектора $\vec{c} \{3.5; -9\}$, длина вектора $\vec{c}$ равна $\sqrt{93.25} \approx 9.66$. Решение задачи №2: Чтобы доказать, что треугольник $CDE$ равнобедренный, нужно проверить, что две стороны треугольника равны по длине. Найдем длины сторон $CD$, $DE$ и $EC$: $C(-6; -1), D(-1; 5), E(4; -1)$ Длина отрезка находится по формуле: $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ $CD = \sqrt{(-1 - (-6))^2 + (5 - (-1))^2} = \sqrt{(5)^2 + (6)^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}$ $DE = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{(5)^2 + (-6)^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}$ $EC = \sqrt{(-6 - 4)^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{(-10)^2 + (0)^2} = \sqrt{100} = 10$ Так как $CD = DE = \sqrt{61}$, треугольник $CDE$ равнобедренный. Теперь найдем высоту, проведённую из вершины $D$ к основанию $CE$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Значит, высота делит основание $CE$ пополам. Найдем координаты середины $CE$, точки $H$. Координаты середины находятся по формуле: $H_x = \frac{x_1 + x_2}{2}$ и $H_y = \frac{y_1 + y_2}{2}$ $H_x = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ $H_y = \frac{-1 + (-1)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ $H(-1; -1)$ Теперь найдем длину высоты $DH$: $DH = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (5 - (-1))^2} = \sqrt{(0)^2 + (6)^2} = \sqrt{36} = 6$ **Ответ:** Треугольник $CDE$ равнобедренный, высота, проведённая из вершины $D$, равна 6. Решение задачи №3: Чтобы доказать, что $MKPA$ — прямоугольник, нужно доказать, что его стороны попарно параллельны и что углы между смежными сторонами прямые. Или можно доказать, что диагонали равны. $M(-3; 1), K(1; 5), P(3; 3), A(-1; -1)$ Найдем длины диагоналей $MP$ и $KA$: $MP = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{(6)^2 + (2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$ $KA = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$ Так как диагонали равны, $MKPA$ — параллелограмм, а значит, $MKPA$ — прямоугольник. Теперь найдем координаты точки пересечения диагоналей $O$. Так как в прямоугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, найдем середину диагонали $MP$: $O_x = \frac{-3 + 3}{2} = \frac{0}{2} = 0$ $O_y = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$ **Ответ:** $MKPA$ — прямоугольник, координаты точки пересечения диагоналей $O(0; 2)$. Решение задачи №4: Окружность задана уравнением $(x + 4)^2 + (y - 7)^2 = 49$. а) Уравнение прямой, проходящей через её центр и параллельной оси абсцисс: Центр окружности имеет координаты $(-4; 7)$. Уравнение прямой, параллельной оси абсцисс (то есть горизонтальной прямой) и проходящей через точку $(-4; 7)$, имеет вид $y = 7$. б) Уравнение прямой, проходящей через её центр и параллельной оси ординат: Уравнение прямой, параллельной оси ординат (то есть вертикальной прямой) и проходящей через точку $(-4; 7)$, имеет вид $x = -4$. **Ответ:** а) $y = 7$ б) $x = -4$