Реши задачи по геометрии: 1) Найди CK, если AO - медиана треугольника ABC, AO = OK, AB = 6,3 см, BC = 6,5 см, AC = 6,7 см; 2) Найди MK, если OH и ON - высоты треугольников MOK и EOF, OH = ON, EN = 7,8 см, OE = OK, HM = 6,3 см; 3) Найди отрезок EM, если в треугольниках ABC и KPM проведены биссектрисы BO и PE, причем треугольник ABO = треугольнику KPE, BC = PM, AC = 9 см, а EM больше KE на 3,8 см.

1) Дано: $AO$ - медиана $\triangle ABC$, $AO = OK$, $AB = 6,3$ см, $BC = 6,5$ см, $AC = 6,7$ см. Найти: $CK$. Так как $AO$ - медиана, то $O$ - середина $BC$, следовательно, $BO = OC = \frac{BC}{2} = \frac{6,5}{2} = 3,25$ см. $OK = AO$, значит $AOCK$ - параллелограмм (т.к. диагонали точкой пересечения делятся пополам). $CK = AO$ (как противоположные стороны параллелограмма). $AO = \frac{1}{2}BK$ (т.к. диагонали параллелограмма равны и точкой пересечения делятся пополам). В $\triangle ABK$, $AO$ - медиана, значит, $AO = \frac{1}{2}BK$, тогда $BK = 2AO$. Так как $AOCK$ - параллелограмм, то $AO = CK$. Следовательно, $CK = AB = 6,3$ см. **Ответ: $CK = 6,3$ см** 2) Дано: $OH$ и $ON$ - высоты $\triangle MOK$ и $\triangle EOF$, $OH = ON$, $EN = 7,8$ см, $OE = OK$, $HM = 6,3$ см. Найти: $MK$. Так как $OE = OK$, то $\triangle EOK$ - равнобедренный, значит, $\angle OEK = \angle OKE$. $OH$ и $ON$ - высоты, следовательно, $\angle OHE = \angle ONE = 90^\circ$. Так как $OH = ON$, то $\triangle OHE = \triangle ONE$ (по гипотенузе и катету). Следовательно, $HE = NE$. $MK = MH + HK = 6,3 + HK$, $EF = EN + NF = 7,8 + NF$. Рассмотрим $\triangle MOK$ и $\triangle EOF$: $\angle MOK = \angle EOF$ (вертикальные углы), $OE = OK$ (дано), $\angle EOK = \angle OKE$ (из $\triangle EOK$). Следовательно, $\triangle MOK = \triangle EOF$ (по стороне и двум прилежащим углам). Значит, $MK = EF$, то есть $MH + HK = EN + NF$, отсюда $6,3 + HK = 7,8 + NF$, тогда $HK = 7,8 - 6,3 + NF$, значит, $HK = 1,5 + NF$. **Недостаточно данных для решения** 3) В треугольниках $ABC$ и $KPM$ проведены биссектрисы $BO$ и $PE$, причем $\triangle ABO = \triangle KPE$, $BC = PM$. Найдите отрезок $EM$, если $AC = 9$ см, а $EM$ больше $KE$ на 3,8 см. Так как $\triangle ABO = \triangle KPE$, то $AB = KP$, $AO = KE$, $BO = PE$ и $\angle BAO = \angle EKP$, $\angle ABO = \angle KPE$, $\angle AOB = \angle KEP$. Так как $BO$ и $PE$ - биссектрисы, то $\angle ABO = \frac{1}{2} \angle ABC$, $\angle KPE = \frac{1}{2} \angle KPM$. Следовательно, $\angle ABC = \angle KPM$, тогда $\frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \angle KPM$. Рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle KPM$: $AB = KP$, $\angle ABC = \angle KPM$, $BC = PM$. Следовательно, $\triangle ABC = \triangle KPM$ (по двум сторонам и углу между ними). Значит, $AC = KM$, $\angle BAC = \angle PKM$, $\angle BCA = \angle KMP$. Пусть $KE = x$, тогда $EM = x + 3,8$ см. $KM = KE + EM = x + x + 3,8 = 2x + 3,8$. $AC = 9$ см, следовательно, $KM = 9$ см. Тогда $2x + 3,8 = 9$, $2x = 9 - 3,8 = 5,2$, $x = \frac{5,2}{2} = 2,6$ см. $EM = x + 3,8 = 2,6 + 3,8 = 6,4$ см. **Ответ: $EM = 6,4$ см**