В треугольнике ABC, угол B=55°, угол A=110°. Укажи наименьшую сторону треугольника и объясни ответ.

1. Укажи наименьшую сторону треугольника ABC, если угол B = 55°, а угол A = 110°. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Значит, угол C = 180° - 110° - 55° = 15°. Наименьшая сторона лежит напротив наименьшего угла. **Ответ:** Наименьшая сторона лежит напротив угла C, то есть сторона AB. 2. Найди периметр треугольника, если две стороны равны 3 см и 5 см, а угол между ними равен 120°. По теореме косинусов найдем третью сторону: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(C)$; $c^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot cos(120°) = 9 + 25 - 30 \cdot (-0,5) = 34 + 15 = 49$; $c = \sqrt{49} = 7$ см. Периметр треугольника: $P = a + b + c = 3 + 5 + 7 = 15$ см. **Ответ: 15 см** 3. Реши треугольник ABC, если угол B = 30°, угол C = 105°, AC = 4 см. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому угол A = 180° - 30° - 105° = 45°. По теореме синусов: $\frac{AC}{sin(B)} = \frac{BC}{sin(A)} = \frac{AB}{sin(C)}$; $\frac{4}{sin(30°)} = \frac{BC}{sin(45°)} = \frac{AB}{sin(105°)}$; $\frac{4}{0,5} = \frac{BC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AB}{sin(105°)}$; $BC = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{0,5} = 4 \sqrt{2}$ см; $AB = \frac{4 \cdot sin(105°)}{0,5} = 8 \cdot sin(105°)$ см. **Ответ:** A = 45°, BC = $4 \sqrt{2}$ см, AB = $8 \cdot sin(105°)$ см. 4. Найди диагонали параллелограмма, если стороны равны 10 см и 16 см, а угол между ними равен 60°. Пусть параллелограмм ABCD, где AB = 10 см, AD = 16 см, угол BAD = 60°. Диагональ BD можно найти по теореме косинусов: $BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot cos(BAD)$; $BD^2 = 10^2 + 16^2 - 2 \cdot 10 \cdot 16 \cdot cos(60°) = 100 + 256 - 320 \cdot 0,5 = 356 - 160 = 196$; $BD = \sqrt{196} = 14$ см. Диагональ AC можно найти по теореме косинусов, учитывая, что угол ADC = 180° - 60° = 120°: $AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot cos(ADC)$; $AC^2 = 16^2 + 10^2 - 2 \cdot 16 \cdot 10 \cdot cos(120°) = 256 + 100 - 320 \cdot (-0,5) = 356 + 160 = 516$; $AC = \sqrt{516} = 2 \sqrt{129}$ см. **Ответ:** Диагонали параллелограмма равны 14 см и $2 \sqrt{129}$ см.