Найди площадь прямоугольного треугольника с катетами 5 и 48, радиус окружности, описанной около треугольника MTS, угол N трапеции KNZR, во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего и скорость велосипедиста на пути из A в B.

9. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Значит, площадь равна $(5 \cdot 48) / 2 = 120$. **Ответ: 120** 10. В прямоугольном треугольнике $MTS$ гипотенуза $MT$ является диаметром описанной окружности. По теореме Пифагора, $MT = \sqrt{MS^2 + TS^2} = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{15})^2} = \sqrt{4 + 60} = \sqrt{64} = 8$. Радиус окружности равен половине диаметра, то есть $R = MT / 2 = 8 / 2 = 4$. **Ответ: 4** 11. В трапеции $KNZR$, вписанной в окружность, углы $K$ и $Z$ в сумме составляют 180°, так как это противоположные углы вписанного четырехугольника. Значит, $\angle N = 180° - \angle K = 180° - 64° = 116°$. **Ответ: 116** 12. Радиус меньшего круга равен 2 клеткам, а радиус большего круга равен 4 клеткам. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Площадь меньшего круга $S_1 = \pi (2)^2 = 4\pi$, площадь большего круга $S_2 = \pi (4)^2 = 16\pi$. Отношение площадей $S_2 / S_1 = (16\pi) / (4\pi) = 4$. **Ответ: в 4 раза** 13. Пусть $v$ - скорость велосипедиста из $A$ в $B$. Тогда время в пути из $A$ в $B$ равно $t = 80 / v$. На обратном пути скорость была $v + 2$, и время в пути было $80 / (v + 2)$, плюс 2 часа остановки. Так как время в пути туда и обратно одинаковое, получаем уравнение: $80 / v = 80 / (v + 2) + 2$. Умножим обе части уравнения на $v(v+2)$, чтобы избавиться от дробей: $80(v + 2) = 80v + 2v(v + 2)$. Раскроем скобки: $80v + 160 = 80v + 2v^2 + 4v$. Упростим уравнение: $2v^2 + 4v - 160 = 0$. Разделим на 2: $v^2 + 2v - 80 = 0$. Решим квадратное уравнение: $v = (-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-80)}) / (2 \cdot 1) = (-2 \pm \sqrt{4 + 320}) / 2 = (-2 \pm \sqrt{324}) / 2 = (-2 \pm 18) / 2$. Получаем два решения: $v_1 = (-2 + 18) / 2 = 16 / 2 = 8$ и $v_2 = (-2 - 18) / 2 = -20 / 2 = -10$. Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем $v = 8$ км/ч. **Ответ: 8 км/ч**