В треугольнике ABC известно, что AB = 20, BC = 7, sin ∠ABC = 2/5. Найди площадь треугольника ABC.

Вариант III 1. Для нахождения площади треугольника ABC воспользуемся формулой: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot sin(\angle ABC)$ Подставляем известные значения: AB = 20, BC = 7, sin ∠ABC = $\frac{2}{5}$. $S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 7 \cdot \frac{2}{5} = 10 \cdot 7 \cdot \frac{2}{5} = 70 \cdot \frac{2}{5} = 14 \cdot 2 = 28$ **Ответ: Площадь треугольника ABC равна 28.** 2. По теореме синусов: $\frac{AC}{sin B} = \frac{BC}{sin A}$ Угол A = 45°, угол B = 60°, BC = $6\sqrt{6}$. $\frac{AC}{sin 60^\circ} = \frac{6\sqrt{6}}{sin 45^\circ}$ $AC = \frac{6\sqrt{6} \cdot sin 60^\circ}{sin 45^\circ} = \frac{6\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 6 \cdot \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = 6 \cdot \sqrt{\frac{18}{2}} = 6 \cdot \sqrt{9} = 6 \cdot 3 = 18$ **Ответ: AC = 18** 3. Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника, воспользуемся теоремой синусов: $\frac{AB}{sin C} = 2R$, где R - радиус описанной окружности. Угол C = 30°, AB = 16. $\frac{16}{sin 30^\circ} = 2R$ $\frac{16}{\frac{1}{2}} = 2R$ $32 = 2R$ $R = 16$ **Ответ: Радиус окружности равен 16.** 4. По теореме косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma)$, где a = 5 см, b = 16 см, угол между ними $\gamma$ = 120°. $c^2 = 5^2 + 16^2 - 2 \cdot 5 \cdot 16 \cdot cos(120^\circ)$ $c^2 = 25 + 256 - 160 \cdot (-\frac{1}{2})$ $c^2 = 281 + 80 = 361$ $c = \sqrt{361} = 19$ **Ответ: Третья сторона треугольника равна 19 см.** 5. По теореме синусов: $\frac{BC}{sin A} = 2R$ Сумма углов треугольника равна 180°. Угол B = 62°, угол C = 88°. Угол A = 180° - (62° + 88°) = 180° - 150° = 30° Радиус R = 12. $\frac{BC}{sin 30^\circ} = 2 \cdot 12$ $\frac{BC}{\frac{1}{2}} = 24$ $BC = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$ **Ответ: BC = 12**