Найди логарифм по основанию а числа, представленного в виде степени с основанием а.

Решаю твои задания по логарифмам: 1. Найдите логарифм по основанию $a$ числа, представленного в виде степени с основанием $a$. А) $4^2 = 16$; Логарифм по основанию 4 от 16 равен 2, так как $4^2 = 16$. Б) $5^{-3} = \frac{1}{125}$; Логарифм по основанию 5 от $\frac{1}{125}$ равен -3, так как $5^{-3} = \frac{1}{125}$. В) $81^{\frac{3}{4}} = 27$. Логарифм по основанию 81 от 27 равен $\frac{3}{4}$, так как $81^{\frac{3}{4}} = 27$. 2. Проверьте справедливость равенств: А) $\log_{16} 1 = 0$ Равенство справедливо, так как любое число в степени 0 равно 1. Б) $\lg 0,01 = -2$ Равенство справедливо, так как десятичный логарифм 0,01 (то есть $10^{-2}$) равен -2. В) $\log_{0,2} 125 = -3$. Равенство справедливо, так как $0,2^{-3} = (\frac{1}{5})^{-3} = 5^3 = 125$. 3. Вычислить: А) $\log_{12} 4 + \log_{12} 36$ Используем свойство логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$. $$\log_{12} 4 + \log_{12} 36 = \log_{12} (4 \cdot 36) = \log_{12} 144 = 2$$ Б) $\frac{\lg 8 + \lg 18}{2 \lg 2 + \lg 3}$ Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов: $$\frac{\lg 8 + \lg 18}{2 \lg 2 + \lg 3} = \frac{\lg (8 \cdot 18)}{\lg (2^2) + \lg 3} = \frac{\lg 144}{\lg 4 + \lg 3} = \frac{\lg 144}{\lg (4 \cdot 3)} = \frac{\lg 144}{\lg 12} = \frac{\lg (12^2)}{\lg 12} = \frac{2 \lg 12}{\lg 12} = 2$$ 4. Найдите $x$: А) $\log_5 x = 2$ $x = 5^2 = 25$ Б) $\log_6 x = 3 \log_6 2 + 0,5 \log_6 25 - 2 \log_6 3$ Преобразуем выражение: $$\log_6 x = \log_6 (2^3) + \log_6 (25^{0,5}) - \log_6 (3^2) = \log_6 8 + \log_6 5 - \log_6 9 = \log_6 \frac{8 \cdot 5}{9} = \log_6 \frac{40}{9}$$ $$x = \frac{40}{9}$$ 5. Найдите $x$: А) $\log_x \frac{1}{4} = -2$ $x^{-2} = \frac{1}{4}$ $\frac{1}{x^2} = \frac{1}{4}$ $x^2 = 4$ $x = 2$ Б) $\log_x 27 = 3$ $x^3 = 27$ $x = 3$ 6. Упростите выражение: А) $3,8^{\log_{3,8} 11}$ Используем основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$. $3,8^{\log_{3,8} 11} = 11$ Б) $3^{2 - \log_3 18}$ Преобразуем выражение: $$3^{2 - \log_3 18} = \frac{3^2}{3^{\log_3 18}} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$$ 7. Сравните: А) $1$ и $\log_3 \frac{1}{27}$ $\log_3 \frac{1}{27} = \log_3 (3^{-3}) = -3$ $1 > -3$, следовательно, $1 > \log_3 \frac{1}{27}$. Б) $\frac{\log_3 16}{\log_3 4}$ и $-2^{\log_2 5}$ Преобразуем выражение: $$\frac{\log_3 16}{\log_3 4} = \frac{\log_3 (4^2)}{\log_3 4} = \frac{2 \log_3 4}{\log_3 4} = 2$$ $$-2^{\log_2 5} = -5$$ $2 > -5$, следовательно, $\frac{\log_3 16}{\log_3 4} > -2^{\log_2 5}$.