Найди логарифм, проверь справедливость равенств, вычисли, найди x, упрости выражение и сравни.

1. Найдите логарифм по основанию $a$ числа, представленного в виде степени с основанием $a$. * A) $4^2 = 16$; Для этого случая нужно найти степень, в которую нужно возвести 4, чтобы получить 16. Это 2, потому что $4^2 = 16$. *Ответ: 2* * Б) $5^{-3} = \frac{1}{125}$; Здесь нужно найти степень, в которую нужно возвести 5, чтобы получить $\frac{1}{125}$. Это -3, потому что $5^{-3} = \frac{1}{125}$. *Ответ: -3* * В) $81^{\frac{3}{4}} = 27$. В этом случае нужно найти степень, в которую нужно возвести 81, чтобы получить 27. Это $\frac{3}{4}$, потому что $81^{\frac{3}{4}} = (81^{\frac{1}{4}})^3 = 3^3 = 27$. *Ответ: 3/4* 2. Проверьте справедливость равенств: * A) $\log_{16} 1 = 0$; Это верно, потому что любое число в степени 0 равно 1. * Б) $\lg 0,01 = -2$; Это верно, потому что $\lg 0,01 = \log_{10} 0,01 = -2$, так как $10^{-2} = 0,01$. * В) $\log_{0.2} 125 = -3$. Это верно, потому что $0.2^{-3} = (\frac{1}{5})^{-3} = 5^3 = 125$. 3. Вычислить: * A) $\log_{12} 4 + \log_{12} 36$; Используем свойство логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$. Тогда $\log_{12} 4 + \log_{12} 36 = \log_{12} (4 \cdot 36) = \log_{12} 144 = 2$, так как $12^2 = 144$. *Ответ: 2* * Б) $\frac{\lg 8 + \lg 18}{2 \lg 2 + \lg 3}$. Используем свойства логарифмов: $\lg a + \lg b = \lg (a \cdot b)$ и $n \lg a = \lg (a^n)$. Тогда $\frac{\lg 8 + \lg 18}{2 \lg 2 + \lg 3} = \frac{\lg (8 \cdot 18)}{\lg (2^2) + \lg 3} = \frac{\lg 144}{\lg 4 + \lg 3} = \frac{\lg 144}{\lg (4 \cdot 3)} = \frac{\lg 144}{\lg 12} = \frac{\lg (12^2)}{\lg 12} = \frac{2 \lg 12}{\lg 12} = 2$. *Ответ: 2* 4. Найдите $x$: * A) $\log_5 x = 2$; Это означает, что $5^2 = x$, следовательно, $x = 25$. *Ответ: 25* * Б) $\log_6 x = 3 \log_6 2 + 0.5 \log_6 25 - 2 \log_6 3$; Используем свойства логарифмов: $n \log_a b = \log_a (b^n)$. Тогда $\log_6 x = \log_6 (2^3) + \log_6 (25^{0.5}) - \log_6 (3^2) = \log_6 8 + \log_6 5 - \log_6 9 = \log_6 (8 \cdot 5) - \log_6 9 = \log_6 40 - \log_6 9 = \log_6 \frac{40}{9}$. Следовательно, $x = \frac{40}{9}$. *Ответ: 40/9* 5. Найдите $x$: * A) $\log_x \frac{1}{4} = -2$; Это означает, что $x^{-2} = \frac{1}{4}$. Значит, $\frac{1}{x^2} = \frac{1}{4}$, следовательно, $x^2 = 4$. Тогда $x = 2$ или $x = -2$, но основание логарифма не может быть отрицательным, поэтому $x = 2$. *Ответ: 2* * Б) $\log_x 27 = 3$. Это означает, что $x^3 = 27$. Значит, $x = \sqrt[3]{27} = 3$. *Ответ: 3* 6. Упростите выражение: * A) $3.8^{\log_{3.8} 11}$; Используем свойство $a^{\log_a b} = b$. Тогда $3.8^{\log_{3.8} 11} = 11$. *Ответ: 11* * Б) $3^{2 - \log_3 18}$. Используем свойства степеней и логарифмов: $a^{b-c} = \frac{a^b}{a^c}$. Тогда $3^{2 - \log_3 18} = \frac{3^2}{3^{\log_3 18}} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$. *Ответ: 1/2* 7. Сравните: * A) $1$ и $\log_3 \frac{1}{27}$; $\log_3 \frac{1}{27} = \log_3 (3^{-3}) = -3$. Очевидно, что $1 > -3$. *Ответ: 1 > log3(1/27)* * Б) $\frac{\log_3 16}{\log_3 4}$ и $-2^{\log_2 5}$. Сначала упростим $\frac{\log_3 16}{\log_3 4} = \frac{\log_3 (4^2)}{\log_3 4} = \frac{2 \log_3 4}{\log_3 4} = 2$. Теперь упростим $-2^{\log_2 5}$. Используем свойство $a^{\log_a b} = b$, но сначала преобразуем выражение: $-2^{\log_2 5} = -5$. Следовательно, $2 > -5$. *Ответ: log3(16)/log3(4) > -2log2(5)*